Упростим показательные выражения:8x+32=(23)x+32=23x+2=4⋅23x;4x+21=(22)x+21=22x+1=2⋅22x.Неравенство принимает следующий вид:2⋅22x−9⋅2x+44⋅23x−9⋅(2⋅22x)+13⋅2x−13⩽2x+1−2x−21+2x+1−13;2⋅22x−9⋅2x+44⋅23x−18⋅22x+13⋅2x−13⩽2⋅2x−2x−21+2⋅2x−13.Сделаем замену 2x=t:2t2−9t+44t3−18t2+13t−13⩽2t−t−21+2t−13.Заметим, что:4t3−18t2+13t−13=2t⋅(2t2−9t+4)+5t−13;2t2−9t+4=(2t−1)(t−4).Значит,2t2−9t+44t3−18t2+13t−13=2t2−9t+42t⋅(2t2−9t+4)+5t−13=2t+(2t−1)(t−4)5t−13.Таким образом, неравенство принимает следующий вид:2t+(2t−1)(t−4)5t−13⩽2t−t−21+2t−13;(2t−1)(t−4)5t−13⩽−t−21+2t−13;(2t−1)(t−4)5t−13+t−21−2t−13⩽0.Приводим к общему знаменателю:(2t−1)(t−4)(t−2)(5t−13)(t−2)+(2t−1)(t−4)−3(t−4)(t−2)⩽0;(2t−1)(t−4)(t−2)2(2t−1)(t−3)⩽0.Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
Получаем:t∈(−∞;21)∪(21;2)∪[3;4).Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью показательной функции:2x=21,2x<2,3⩽2x<4.⇒2x=2−1,2x<21,2log23⩽2x<22.⇒x=−1,x<1,log23⩽x<2.Итого получаем:x∈(−∞;−1)∪(−1;1)∪[log23;2).Ответ: (−∞;−1)∪(−1;1)∪[log23;2).
