Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чисел

ФИПИ

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на

3

.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число

300

?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число

151

?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от

100

до

600

включительно?

Решение

Пусть исходное число

N

. Обозначим его цифры:

a

— сотни,

b

— десятки,

c

— единицы (

a \in \{1,\dots,9\}

b, c \in \{0,\dots,9\}

). Тогда

N = \overline{abc} = 100a + 10b + c.

Сумма цифр числа

N

равна

a + b + c

. По условию, из числа вычитают сумму его цифр, а затем делят на 3. Результат операции обозначим через

M

M = \dfrac{N - (a + b + c)}{3} = \dfrac{100a + 10b + c - a - b - c}{3} = \dfrac{99a + 9b}{3} = 33a + 3b.

Таким образом,

M = 33a + 3b

, где

a \in \{1,\dots,9\}

b \in \{0,\dots,9\}

.

а) Проверим, может ли

M = 300

33a + 3b = 300 \quad \Leftrightarrow \quad 3(11a + b) = 300 \quad \Leftrightarrow \quad 11a + b = 100.

Подберем

a

b

c

такие, чтобы они удовлетворяли этому равенству. Пример:

a = 9

b = 1

c

-- любое, например,

911

.

б) Проверим, может ли

M = 151

33a + 3b = 151 \quad \Leftrightarrow \quad 3(11a + b) = 151 \quad \Leftrightarrow \quad 11a + b = \dfrac{151}{3} = 50\dfrac{1}{3}.

Левая часть

11a + b

— целое число (сумма целых), а правая часть дробная. Противоречие. Следовательно, равенство невозможно.

в) Исходные числа

N

лежат в промежутке от 100 до 600 включительно. Это означает, что цифра сотен

a

может принимать значения от 1 до 6, при этом

b \in \{0,\dots,9\}

.

Таким образом, для каждого

a

от 1 до 5 включительно

b

может быть любым от 0 до 9 — это даёт

10

вариантов для каждого

a

. При

a = 6

необходимо учесть ограничение

N \le 600

. Так как

N = 600 + 10b + c \le 600

возможно только при

b = 0

c = 0

. Следовательно, для

a = 6

допустим только

b = 0

. Получаем:

\text{при } a = 1,\dots,5: \quad 5 \cdot 10 = 50 \text{ пар } (a, b),

\text{при } a = 6: \quad 1 \text{ пара } (a = 6, b = 0).

Итого

50 + 1 = 51

возможная пара

(a, b)

, а значит, и 51 возможное значение

M = 33a + 3b

.

Докажем, что все эти значения различны. Предположим противное: пусть существуют различные пары

(a_1, b_1)

(a_2, b_2)

a_1, a_2 \in \{1,\dots,6\}

b_1, b_2 \in \{0,\dots,9\}

, такие что

33a_1 + 3b_1 = 33a_2 + 3b_2.

Разделим на 3:

11a_1 + b_1 = 11a_2 + b_2 \quad \Leftrightarrow \quad 11(a_1 - a_2) = b_2 - b_1.

Левая часть кратна 11. Правая часть по модулю не превосходит

|b_2 - b_1| \le 9

. Единственное число, кратное 11 и не превосходящее по модулю 9, это 0. Значит,

b_2 - b_1 = 0

11(a_1 - a_2) = 0

, откуда

a_1 = a_2

b_1 = b_2

, что противоречит предположению о различии пар. Следовательно, все значения различны.

Ответ: а) да; б) нет; в)

51.

Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи