Найдите все значения параметра a, для каждого из которых меньший корень уравнения x2−(8a−3)x+16a2−12a=0 в 10 раз меньше, чем его больший корень.
Решение
При всех значениях a уравнение квадратное.
D=(8a−3)2−4⋅1⋅(16a2−12a)=64a2−48a+9−64a2+48a=9;x1=28a−3−3=28a−6=4a−3;x2=28a−3+3=28a=4a. Заметим, что 4a>4a−3 при всех значениях a, то есть уравнение всегда имеет два корня и x1<x2. По условию x2=10x1, тогда:
4a=10⋅(4a−3);4a=40a−30;36a=30;a=3630=65. Ответ: 65.
