Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств
⎩⎨⎧a(x−1)≥4,2x−2≥a,3x<a+14 имеет хотя бы одно решение на отрезке [4;5].
Решение
Решим систему графически в координатах Oxa.
1) a(x−1)⩾4.
Рассмотрим уравнение a(x−1)=4. При x=1 получим a⋅0=4 --- неверно, значит x=1 и мы можем разделить уравнение на (x−1). a=x−14. Графиком полученной функции
является гипербола с асимптотами x=1 и a=0. Найдём точки её пересечения с прямыми x=4 и x=5: x=4:a=4−14=34.
x=5:a=5−14=1.
В полосе x∈[4;5] определим область решений неравенства a(x−1)⩾4. Возьмём точку (4,5;2) : 2⋅(4,5−1)⩾4; 7⩾4верно. Возьмём точку (4,5;0) : 0(4,5−1)⩾4; 0⩾4 - неверно. Значит, решением первого неравенства в промежутке [4;5] будет область над гиперболой и сама гипербола.
2) 2x−2⩾a. Графиком функции a=2x−2 является одна ветвь параболы с вершиной (2;0). xa203264 Найдём точки пересечения с прямыми x=4,x=5. x=4:a=22;x=5:a=23. a≤2x−2 -- область под веткой параболы, включая границу.
3) 3x<a+14. a>3x−14 - решением является полуплоскость над прямой a=3x−14, не включая прямую. Найдём точки пересечения границы a=3x−14 с x=4 и x=5. x=4:a=12−14=−2;x=5:a=15−14=1. Решением системы при x∈[4;5] будет область, ограниченная сверху параболой, снизу гиперболой,
слева и справа прямыми x=4 и x=5, все границы включены, кроме точки (5;1) -- она выколота.
Запустим горизонтальную считывающую
прямую и найдём, при каких a она
пересекает область хотя бы в одной точке.
Получим a∈(1;23].
