Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
∣∣x−2a∣+3a∣+∣∣3x+a∣−4a∣≤5x+24 выполняется для всех значений x∈[0;6].
Решение
Пусть f(x)=5x+24−∣∣x−2a∣+3a∣−∣∣3x+a∣−4a∣∣. Эта функция является кусочно-линейной, при этом угловой коэффициент k каждого линейного участка удовлетворяет условию k≥5−1−3=1. Следовательно, f(x) возрастающая функция. Значит, для того, чтобы неравенство f(x)≥0 выполнялось для всех x∈[0;6], необходимо и достаточно выполнения условия f(0)≥0. f(0)=5⋅0+24−∣∣0−2a∣+3a∣−∣∣3⋅0+a∣−4a∣∣=24−∣∣2a∣+3a∣−∣∣a∣−4a∣∣. При a≥0: f(0)=24−∣2a+3a∣−∣a−4a∣=24−∣5a∣−∣3a∣=24−5a−3a=24−8a. Составим и решим неравенство: 24−8a≥0,a≤3. Учитывая, что a≥0, получаем, 0≤a≤3. При a<0: f(0)=24−∣−2a+3a∣−∣−a−4a∣=24−∣a∣−∣5a∣=24+a+5a=24+6a. Составим и решим неравенство: 24+6a≥0,a≥−4. Учитывая, что a<0, получаем, −4≤a<0. Объединяя все случаи, получим a∈[−4;3]. Ответ: a∈[−4;3].
