Найдите все значения p, при каждом из которых уравнение
(x2−6x+10)2+(x2−2p2+7p)2=sin(pπ+2πx) имеет хотя бы один корень.
Решение
Cлева записана сумма квадратов, причем
x2−6x+10=x2−6x+9+1=(x−3)2+1⩾1;(x2−2p2+7p)2⩾0. Значит, левая часть не меньше 1. В правой части равенства имеем sint, который не больше 1 при любых t. Значит, равенство возможно тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
⎩⎨⎧(x−3)2+1=1,x2−2p2+7p=0,sin(pπ+2πx)=1.
⎩⎨⎧x=3,−2p2+7p+9=0,sin(πp+23π)=1.
⎩⎨⎧x=3,2p2−7p−9=0,sin(πp+23π)=1. ⎩⎨⎧x=3,[p=−1,p=29,sin(πp+23π)=1. Подставим p=−1 и p=29 в последнее уравнение системы.
При p=−1 имеем:
sin(−π+23π)=sin2π=1. При p=29 имеем:
sin(29π+23π)=sin(6π)=0=1. Тогда решением системы будет только p=−1.
