Параметр с тригонометрией — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 22.04.2026

Найдите все значения

p

, при каждом из которых уравнение

\left(x^2 - 6x + 10\right)^2 + \left(x^2 - 2p^2 + 7p\right)^2 = \sin\left(p\pi + \frac{\pi}{2}x\right)

имеет хотя бы один корень.

Решение

Cлева записана сумма квадратов, причем

x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 + 1 =(x-3)^2 + 1 \geqslant 1;\\(x^2 - 2p^2 + 7p)^2 \geqslant 0.

Значит, левая часть не меньше

1

.
В правой части равенства имеем

\sin t

, который не больше

1

при любых

t

. Значит, равенство возможно тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

\begin{cases}(x-3)^2 + 1 = 1, \\x^2 - 2p^2 + 7p = 0, \\\sin\left(p\pi + \frac{\pi}{2}x\right) = 1.\end{cases}

\begin{cases}x = 3, \\-2p^2 + 7p + 9 = 0, \\\sin\left(\pi p + \frac{3\pi}{2}\right) = 1.\end{cases}

\begin{cases}x = 3, \\2p^2 - 7p - 9 = 0, \\\sin\left(\pi p + \frac{3\pi}{2}\right) = 1.\end{cases}

\left\{\begin{array}{l}x = 3, \\\left[\begin{array}{l}p = -1, \\p = \frac{9}{2},\end{array}\right. \\\sin\left(\pi p + \frac{3\pi}{2}\right) = 1. \end{array}\right.

Подставим

p=-1

p=\dfrac{9}{2}

в последнее уравнение системы.
При

p=-1

имеем:

\sin\left(-\pi+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1.

При

p=\dfrac{9}{2}

имеем:

\sin\left(\dfrac{9\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin(6\pi)=0\neq1.

Тогда решением системы будет только

p=-1.

Ответ:

p=-1

Похожие задачи