Дана правильная четырёхугольная призма A B C… — Стереометрия — ЕГЭ

СтереометрияЕГЭ 2025 (пересдача)

Дана правильная четырёхугольная призма

A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

. Точка

L

лежит на стороне

CC_1

M

-- середина

A_1B_1

. Точка

K

делит

DC

таким образом, что

DK=2KC

AKLM

-- равнобедренная трапеция.

a) Докажите, что

CL=2C_1L

.

б) Найдите объём призмы, если известно, что

AA_1=7

Решение

а) Плоскость

(AMK)

пересекает параллельные плоскости

(ABB_1)

(CC_1D)

по параллельным прямым, то есть

KL \parallel AM

\triangle AA_1M \sim \triangle CLK

по двум углам (

\angle AA_1M = \angle LCK = 90^{\circ}

\angle AMA_1 = \angle LCK

как сонаправленные при

KL \parallel AM

), тогда коэффициент подобия будет равен отношению сходственных сторон

k = \dfrac{A_1M}{CK} = \dfrac{\dfrac{1}{2}A_1B_1}{\dfrac{1}{3}CD} = \dfrac{3}{2}.

Таким образом,

\dfrac{AA_1}{CL} = \dfrac{3}{2}, \quad CL = \dfrac{2}{3}AA_1 = \dfrac{2}{3}CC_1.

Откуда получаем, что

C_1L = \dfrac{1}{3}CC_1

CL = 2C_1L

, ч.т.д.

$Изображение 1$

б) Пусть

AB = 3x

.
Из

\triangle ADK

по теореме Пифагора:

AK^2 = AD^2 + DK^2, \quad AK = \sqrt{AD^2 + DK^2} = \sqrt{9x^2 + 4x^2} = \sqrt{13}x.

Пусть

M'

-- середина ребра

C_1D_1

, тогда

MM' \perp (DCC_1)

.
Из

\triangle M'C_1L

по теореме Пифагора:

M'L^2 = C_1M'^2 + C_1L^2, \quad M'L = \sqrt{C_1M'^2 + C_1L^2} = \sqrt{2,25x^2 + \dfrac{49}{9}}.

Из

\triangle MM'L

по теореме Пифагора:

ML^2 = MM'^2 + M'L^2, \quad ML = \sqrt{MM'^2 + M'L^2} = \sqrt{2,25x^2 + \dfrac{49}{9} + 9x^2} = \sqrt{11,25x^2 + \dfrac{49}{9}}.

Так как

AMLK

-- равнобедренная трапеция, то

AK = ML

и справедливо уравнение:

\sqrt{11,25x^2 + \dfrac{49}{9}} = \sqrt{13}x;

11,25x^2 + \dfrac{49}{9} = 13x^2;

1,75x^2 = \dfrac{49}{9};

x^2 = \dfrac{28}{9}.

$Изображение 2$

Вычислим площадь основания призмы:

S_{ABCD} = (3x)^2 = 9x^2 = 9 \cdot \dfrac{28}{9} = 28.

Тогда объём призмы будет равен

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD} \cdot AA_1 = 28 \cdot 7 = 196.

Ответ: 196.
Координатный способ решения:
a) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке

B

, ось

Ox

направим вдоль ребра

BA

, ось

Oy

направим вдоль ребра

BC

, ось

Oz

направим вдоль ребра

BB_1

$Изображение 3$

Пусть

AB = 6a

BB_1 = 6b

CL = 2C_1L

.
Тогда в этой системе отсчёта верны координаты

A(6a;0;0); \quad K(2a;6a;0); \quad \overrightarrow{AK}(-4a;6a;0);

M(3a;0;6b); \quad L(0;6a;4b); \quad \overrightarrow{ML}(-3a;6a;-2b).

Плоскость

(AMK)

пересекает параллельные плоскости

(ABB_1)

(CC_1D)

по параллельным прямым, то есть

KL \parallel AM

AK = ML

.
Составим уравнение плоскости

(AMK)

в виде

Ax+By+Cz+D=0

\begin{cases} 6aA + D=0,\\ 3aA + 6bC + D=0,\\ 2aA + 6aB + D=0;\\ \end{cases} \quad \begin{cases} D = -6aA,\\ 6bC - 3aA = 0,\\ 6aB - 4aA = 0;\\ \end{cases} \quad \begin{cases} D = -6aA,\\[1ex] C = \dfrac{aA}{2b},\\[2ex] B = \dfrac{2A}{3}.\\ \end{cases}

Запишем уравнение плоскости

(AMK)

и преобразуем его:

Ax + \dfrac{2A}{3}y + \dfrac{aA}{2b}z - 6aA=0; \quad |: \dfrac{A}{6b}

6bx + 4by + 3az - 36ab=0.

Проверим принадлежность точки

L

плоскости

(AMK)

6b \cdot 0 + 4b \cdot 6a + 3a \cdot 4b - 36ab=0 \ \Rightarrow \ L\in (AMK), \ CL = 2C_1L, \ \text{ч.т.д.}

б) Найдём длины векторов:

|\overrightarrow{AK}| = \sqrt{(-4a)^2 + (6a)^2 + 0^2} = \sqrt{16a^2 + 36a^2} = a\sqrt{52};

|\overrightarrow{ML}| = \sqrt{(-3a)^2 + (6a)^2 + (-2b)^2} = \sqrt{9a^2 + 36a^2 + 4b^2} = \sqrt{45a^2 + 4b^2}.

Приравняем их длины, учитывая, что

6b = 7

a\sqrt{52} = \sqrt{45a^2 + 4b^2}, \quad 52a^2 = 45a^2 + 4b^2, \quad 7a^2 = 4b^2, \quad a^2 = \dfrac{4}{7}b^2 = \dfrac{4}{7} \cdot \left(\dfrac{7}{6}\right)^2 = \dfrac{28}{36}.

Вычислим площадь основания призмы:

S_{ABCD} = (6a)^2 = 36a^2 = 36 \cdot \dfrac{28}{36} = 28.

Тогда объём призмы будет равен

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD} \cdot AA_1 = 28 \cdot 7 = 196.

Ответ: 196.

СтереометрияЕГЭ 2025 (пересдача)

Дана правильная четырёхугольная призма

A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

. Точка

L

лежит на стороне

CC_1

M

-- середина

A_1B_1

. Точка

K

делит

DC

таким образом, что

DK=2KC

AKLM

-- равнобедренная трапеция.

a) Докажите, что

CL=2C_1L

.

б) Найдите объём призмы, если известно, что

AA_1=7

Решение

а) Плоскость

(AMK)

пересекает параллельные плоскости

(ABB_1)

(CC_1D)

по параллельным прямым, то есть

KL \parallel AM

\triangle AA_1M \sim \triangle CLK

по двум углам (

\angle AA_1M = \angle LCK = 90^{\circ}

\angle AMA_1 = \angle LCK

как сонаправленные при

KL \parallel AM

), тогда коэффициент подобия будет равен отношению сходственных сторон

k = \dfrac{A_1M}{CK} = \dfrac{\dfrac{1}{2}A_1B_1}{\dfrac{1}{3}CD} = \dfrac{3}{2}.

Таким образом,

\dfrac{AA_1}{CL} = \dfrac{3}{2}, \quad CL = \dfrac{2}{3}AA_1 = \dfrac{2}{3}CC_1.

Откуда получаем, что

C_1L = \dfrac{1}{3}CC_1

CL = 2C_1L

, ч.т.д.

$Изображение 1$

б) Пусть

AB = 3x

.
Из

\triangle ADK

по теореме Пифагора:

AK^2 = AD^2 + DK^2, \quad AK = \sqrt{AD^2 + DK^2} = \sqrt{9x^2 + 4x^2} = \sqrt{13}x.

Пусть

M'

-- середина ребра

C_1D_1

, тогда

MM' \perp (DCC_1)

.
Из

\triangle M'C_1L

по теореме Пифагора:

M'L^2 = C_1M'^2 + C_1L^2, \quad M'L = \sqrt{C_1M'^2 + C_1L^2} = \sqrt{2,25x^2 + \dfrac{49}{9}}.

Из

\triangle MM'L

по теореме Пифагора:

ML^2 = MM'^2 + M'L^2, \quad ML = \sqrt{MM'^2 + M'L^2} = \sqrt{2,25x^2 + \dfrac{49}{9} + 9x^2} = \sqrt{11,25x^2 + \dfrac{49}{9}}.

Так как

AMLK

-- равнобедренная трапеция, то

AK = ML

и справедливо уравнение:

\sqrt{11,25x^2 + \dfrac{49}{9}} = \sqrt{13}x;

11,25x^2 + \dfrac{49}{9} = 13x^2;

1,75x^2 = \dfrac{49}{9};

x^2 = \dfrac{28}{9}.

$Изображение 2$

Вычислим площадь основания призмы:

S_{ABCD} = (3x)^2 = 9x^2 = 9 \cdot \dfrac{28}{9} = 28.

Тогда объём призмы будет равен

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD} \cdot AA_1 = 28 \cdot 7 = 196.

Ответ: 196.
Координатный способ решения:
a) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке

B

, ось

Ox

направим вдоль ребра

BA

, ось

Oy

направим вдоль ребра

BC

, ось

Oz

направим вдоль ребра

BB_1

$Изображение 3$

Пусть

AB = 6a

BB_1 = 6b

CL = 2C_1L

.
Тогда в этой системе отсчёта верны координаты

A(6a;0;0); \quad K(2a;6a;0); \quad \overrightarrow{AK}(-4a;6a;0);

M(3a;0;6b); \quad L(0;6a;4b); \quad \overrightarrow{ML}(-3a;6a;-2b).

Плоскость

(AMK)

пересекает параллельные плоскости

(ABB_1)

(CC_1D)

по параллельным прямым, то есть

KL \parallel AM

AK = ML

.
Составим уравнение плоскости

(AMK)

в виде

Ax+By+Cz+D=0

\begin{cases} 6aA + D=0,\\ 3aA + 6bC + D=0,\\ 2aA + 6aB + D=0;\\ \end{cases} \quad \begin{cases} D = -6aA,\\ 6bC - 3aA = 0,\\ 6aB - 4aA = 0;\\ \end{cases} \quad \begin{cases} D = -6aA,\\[1ex] C = \dfrac{aA}{2b},\\[2ex] B = \dfrac{2A}{3}.\\ \end{cases}

Запишем уравнение плоскости

(AMK)

и преобразуем его:

Ax + \dfrac{2A}{3}y + \dfrac{aA}{2b}z - 6aA=0; \quad |: \dfrac{A}{6b}

6bx + 4by + 3az - 36ab=0.

Проверим принадлежность точки

L

плоскости

(AMK)

6b \cdot 0 + 4b \cdot 6a + 3a \cdot 4b - 36ab=0 \ \Rightarrow \ L\in (AMK), \ CL = 2C_1L, \ \text{ч.т.д.}

б) Найдём длины векторов:

|\overrightarrow{AK}| = \sqrt{(-4a)^2 + (6a)^2 + 0^2} = \sqrt{16a^2 + 36a^2} = a\sqrt{52};

|\overrightarrow{ML}| = \sqrt{(-3a)^2 + (6a)^2 + (-2b)^2} = \sqrt{9a^2 + 36a^2 + 4b^2} = \sqrt{45a^2 + 4b^2}.

Приравняем их длины, учитывая, что

6b = 7

a\sqrt{52} = \sqrt{45a^2 + 4b^2}, \quad 52a^2 = 45a^2 + 4b^2, \quad 7a^2 = 4b^2, \quad a^2 = \dfrac{4}{7}b^2 = \dfrac{4}{7} \cdot \left(\dfrac{7}{6}\right)^2 = \dfrac{28}{36}.

Вычислим площадь основания призмы:

S_{ABCD} = (6a)^2 = 36a^2 = 36 \cdot \dfrac{28}{36} = 28.

Тогда объём призмы будет равен

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD} \cdot AA_1 = 28 \cdot 7 = 196.

Ответ: 196.