Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x2+x+a)2=2x4+2(x+a)2 имеет единственное решение.
Решение
Пусть x+a=u,x2=v, тогда уравнение примет вид:
(v+u)2=2v2+2u2;v2+2uv+u2=2v2+2u2;v2−2uv+u2=0;(v−u)2=0;v=u;x2=x+a;x2−x−a=0. Полученное уравнение должно иметь ровно один корень, значит, его дискриминант равен нулю:
D=1−4⋅(−a)=1+4a,1+4a=0,a=−0,25. Ответ: a=−0,25.
