В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40980 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Пусть S рублей — сумма кредита. Коэффициент увеличения долга: k=1+10010=1,1. Ежегодная выплата равна x рублей.
В конце 3-го года кредит должен быть полностью выплачен. Получим уравнение::
((Sk−x)⋅k−x)⋅k−x=0. Решим:
Sk3−xk2−xk−x=0;Sk3−x(k2+k+1)=0;x=k2+k+1Sk3.
Общая сумма выплат составляет 3x. По условию эта сумма на 40980 рублей больше взятой суммы:
3x=S+40980. Подставим выражение для x: 3⋅k2+k+1S⋅k3=S+40980.
Вычислим k3 и k2+k+1: k=1011,k2=100121,k3=10001331; k2+k+1=100121+1011+1=100121+100110+100100=100331. Тогда:
k2+k+1k3=10001331⋅331100=10⋅3311331=33101331.
Уравнение принимает вид:
3S⋅33101331=S+40980;∣⋅3310 3S⋅1331=3310S+40980⋅3310;3993S=3310S+40980⋅3310;683S=40980⋅3310;683S=683⋅60⋅3310;S=60⋅3310=198600. Таким образом, сумма кредита равна 198600 рублей.
