а) Решите уравнение log_9 ( 3^2x + 5√(2)sin… — Уравнения — ЕГЭ

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

\log_9 \left( 3^{2x} + 5\sqrt{2} \sin x - 6 \cos^2 x - 2 \right) = x

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]

Решение

а) По определению логарифма:

3^{2x} + 5\sqrt{2} \sin x - 6 \cos^2 x - 2 = 9^x.

Заметим, что ограничение

3^{2x} + 5\sqrt{2} \sin x - 6 \cos^2 x - 2 > 0

выполняется при всех

x

, которые удовлетворяют уравнению, так как

9^x > 0

для всех

x

.

Преобразуем уравнение:

9^x + 5\sqrt{2} \sin x - 6 \cos^2 x - 2 = 9^x; \\ 5 \sqrt{2} \sin x - 6 \cos^2 x - 2 = 0.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

5\sqrt{2} \sin x - 6(1 - \sin^2 x) - 2 = 0; \\ 5\sqrt{2} \sin x - 6 + 6\sin^2 x - 2 = 0; \\ 6\sin^2 x + 5\sqrt{2} \sin x - 8 = 0.

Сделаем замену

t = \sin x

(

-1 \leqslant t \leqslant 1

6t^2 + 5\sqrt{2}t - 8 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

\sqrt{D} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 4 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{50 + 192} = \sqrt{242} = 11\sqrt{2}.

t_{1, 2} = \frac{-5\sqrt{2} \pm 11\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}(-5 \pm 11)}{12}.

Получаем:

t_1 = \frac{\sqrt{2} \cdot 6}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad

t_2 = \frac{\sqrt{2} \cdot (-16)}{12} = -\frac{4\sqrt{2}}{3} < -1 \text{ — не подходит.}

Сделаем обратную замену:

\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Значит,

\left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\\[3mm] x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

-\frac{7\pi}{4},\ -\frac{5\pi}{4}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{7\pi}{4},\ -\dfrac{5\pi}{4}