Параметр с тригонометрией — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГКР 14.12.2023

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

(a + 3)\cos^2{x} + 2(a^2 + 3a)\cos{x} + 8a^2 + 8a - 48 = 0

имеет хотя бы один корень.

Решение

Сделаем замену

t = \cos{x}

, тогда уравнение принимает вид:

(a + 3)t^2 + 2(a^2 + 3a)t + 8a^2 + 8a - 48 = 0. \quad (*)

Каждому значению

t \in [-1;1]

соответствует бесконечное число значений

x

, каждому значению

t : |t| > 1

не соответствует ни одного значения

x

.

Разложим

(*)

на множители:

(a + 3)t^2 + 2a(a + 3)t + 8(a^2 + a - 6) = 0;

(a + 3)t^2 + 2a(a + 3)t + 8(a + 3)(a - 2) = 0;

(a + 3)(t^2 + 2at + 8(a - 2)) = 0.

При

a = -3

получаем уравнение

0 = 0

, то есть бесконечное число корней, нам это подходит.

При

a = -3

разделим уравнение на

(a + 3)

t^2 + 2at + 8(a - 2) = 0.

Найдём корни этого уравнения:

D = 4a^2 - 32(a - 2) = 4a^2 - 32a + 64 = 4(a - 4)^2;

t_1 = \dfrac{-2a + 2(a - 4)}{2} = -4,\quad t_2 = \dfrac{-2a - 2(a - 4)}{2} = -2a + 4.

t_1 = -4

не даёт ни одного значения

x

. Найдём значения, при которых

t_2 = -2a + 4

принадлежит отрезку

[-1;1]

-1 \leqslant -2a + 4 \leqslant 1;

-5 \leqslant -2a \leqslant -3;

\dfrac{3}{2} \leqslant a \leqslant \dfrac{5}{2}.

Объединяя случаи, получаем

a \in \{-3\}\cup \left[\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\right]

.

Ответ:

\{-3\}\cup \left[\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\right]

Похожие задачи