Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a+3)cos2x+2(a2+3a)cosx+8a2+8a−48=0 имеет хотя бы один корень.
Решение
Сделаем замену t=cosx, тогда уравнение принимает вид:
(a+3)t2+2(a2+3a)t+8a2+8a−48=0.(∗) Каждому значению t∈[−1;1] соответствует бесконечное число значений x, каждому значению t:∣t∣>1 не соответствует ни одного значения x.
Разложим (∗) на множители:
(a+3)t2+2a(a+3)t+8(a2+a−6)=0; (a+3)t2+2a(a+3)t+8(a+3)(a−2)=0; (a+3)(t2+2at+8(a−2))=0. При a=−3 получаем уравнение 0=0, то есть бесконечное число корней, нам это подходит.
При a=−3 разделим уравнение на (a+3): t2+2at+8(a−2)=0. Найдём корни этого уравнения:
D=4a2−32(a−2)=4a2−32a+64=4(a−4)2; t1=2−2a+2(a−4)=−4,t2=2−2a−2(a−4)=−2a+4. t1=−4 не даёт ни одного значения x. Найдём значения, при которых t2=−2a+4 принадлежит отрезку [−1;1]: −1⩽−2a+4⩽1; −5⩽−2a⩽−3; 23⩽a⩽25. Объединяя случаи, получаем a∈{−3}∪[23;25].
