(2) Выделим полные квадраты:
x2+a2−8x+6a=0;x2−8x+16+a2+6a+9−25=0;(x−4)2+(a+3)2=25. Вместе с условием (1) данное уравнение задаёт часть окружности с центром (4;−3) и радиусом 5, лежащую ниже прямой a=x.
(3) Выделим полные квадраты:
x2+a2−4x+2a=0;x2−4x+4+a2+2a+1−5=0;(x−2)2+(a+1)2=5. Вместе с условием (1) данное уравнение задаёт часть окружности с центром (2;−1) и радиусом 5, лежащую ниже прямой a=x.
Найдём точки пересечения окружности (2) и прямой a=x: x2+x2−8x+6x=0⇒x(x−1)=0;x=0иx=1. Таким образом, пересечение происходит в точках (0;0) и (1;1).
Найдём точки пересечения окружности (3) и прямой a=x: x2+x2−4x+2x=0;⇒x(x−1)=0;x=0иx=1. Таким образом, пересечение происходит в точках (0;0) и (1;1).
Следовательно, окружности также пересекаются в точках (0;0) и (1;1). Центр (2;−1) меньшей окружности лежит внутри большей окружности и ниже прямой a=x, поэтому часть окружности (3), лежащая ниже прямой a=x, находится внутри окружности (2).
Точки (4;−8) и (4;2) являются низшей и высшей точками окружности (2) соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые a=−8 и a=2 касаются окружности (2).
Так как окружность (3) имеет центр (2;−1) и радиус 5, то точки (2;−1−5) и (2;5−1) являются низшей и высшей точками окружности (3) соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые a=−1−5 и a=5−1 касаются окружности (3). Анализируя график, получаем, что уравнение имеет два решения при
a∈(−8;−1−5)∪(0;1)∪[5−1;2). Ответ: (−8;−1−5)∪(0;1)∪[5−1;2).
