Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

\left|x^2+a^2-6 x+4 a\right|=2 x-2 a

имеет ровно два различных корня.

Решение

Уравнение равносильно следующей системе:

\begin{cases} 2x - 2a \geqslant 0, \\[1mm] \left[ \begin{aligned} &x^2 + a^2 - 6x + 4a = 2x - 2a, \\ &x^2 + a^2 - 6x + 4a = -2x + 2a, \end{aligned} \right. \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x \geqslant a, \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\ \, (1)\\[1mm] \left[ \begin{aligned} &x^2 + a^2 - 8x + 6a = 0, \quad (2)\\ &x^2 + a^2 - 4x + 2a = 0. \,\quad (3) \end{aligned} \right. \end{cases}

(2)

Выделим полные квадраты:

x^2 + a^2 - 8x + 6a = 0;\\ x^2 - 8x + 16 + a^2 + 6a + 9 - 25 = 0;\\ (x - 4)^2 + (a + 3)^2 = 25.

Вместе с условием

(1)

данное уравнение задаёт часть окружности с центром

(4; -3)

и радиусом

5

, лежащую ниже прямой

a = x

(3)

Выделим полные квадраты:

x^2 + a^2 - 4x + 2a = 0;\\ x^2 - 4x + 4 + a^2 + 2a + 1 - 5 = 0;\\ (x - 2)^2 + (a + 1)^2 = 5.

Вместе с условием

(1)

данное уравнение задаёт часть окружности с центром

(2; -1)

и радиусом

\sqrt{5}

, лежащую ниже прямой

a = x

.

Найдём точки пересечения окружности

(2)

и прямой

a = x

x^2 + x^2 - 8x + 6x = 0\quad\Rightarrow\quad x(x - 1) = 0;\\ x = 0\quad\text{ и }\quad x = 1.

Таким образом, пересечение происходит в точках

(0; 0)

(1; 1)

.

Найдём точки пересечения окружности

(3)

и прямой

a = x

x^2 + x^2 - 4x + 2x = 0; \quad\Rightarrow\quad x(x - 1) = 0;\\ x = 0\quad\text{ и }\quad x = 1.

Таким образом, пересечение происходит в точках

(0; 0)

(1; 1)

.

Следовательно, окружности также пересекаются в точках

(0; 0)

(1; 1)

. Центр

(2; -1)

меньшей окружности лежит внутри большей окружности и ниже прямой

a = x

, поэтому часть окружности

(3)

, лежащая ниже прямой

a = x

, находится внутри окружности

(2)

Точки

(4; -8)

(4;2)

являются низшей и высшей точками окружности

(2)

соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые

a = -8

a = 2

касаются окружности

(2)

.

Так как окружность

(3)

имеет центр

(2; -1)

и радиус

\sqrt{5}

, то точки

(2; -1 - \sqrt{5})

(2; \sqrt{5} - 1)

являются низшей и высшей точками окружности

(3)

соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые

a = -1 - \sqrt{5}

a = \sqrt{5} - 1

касаются окружности

(3)

. Анализируя график, получаем, что уравнение имеет два решения при

a \in (-8; -1-\sqrt{5}) \cup (0; 1) \cup [\sqrt{5}-1; 2).

Ответ:

(-8; -1-\sqrt{5}) \cup (0; 1) \cup [\sqrt{5}-1; 2)

Похожие задачи