Точки P,Q,W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:3. В треугольнике PQW угол W острый, при этом радиус описанной около этого треугольника
окружности равен 45,PQ=2,QW=23.
а) Докажите, что треугольник PQW прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
Решение
а) Пусть ∠QWP=α,∠QPW=β. По условию PQ>QW, значит ∠QWP>∠QPW, так как напротив большей стороны лежит больший угол, следовательно, ∠QPW -- острый.
По теореме синусов в △PQW: sinαPQ=2R⇔sinα2=25⇔sinα=54.
sinβQW=2R⇔2sinα3=25⇔sinβ=53. Так как углы α и β острые, то по основному тригонометрическому тождеству:
cosα=1−sin2α=1−2516=53.
cosβ=1−sin2β=1−259=54. Тогда
sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ=54⋅54+53⋅53=1. Таким образом, α+β=90∘ и ∠PQW=180−(α+β)=90∘.
б) Проведём диагонали AC и BD четырехугольника ABCD. Заметим, что △CQW∼△CBD (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними): ∠C -- общий, CBCQ=CDCW=41, следовательно,
QW∥BDиBDQW=41. Следовательно,
BD=4BD=6. Аналогично, △BPQ∼△BAC с коэффициентом подобия k=43, следовательно,
ACPQ=43⇔AC=34PQ=38. Так как QW∥BD,PQ∥AC и ∠PQW=90∘, то угол между прямыми BD и AC равен 90∘.
Таким образом, площадь четырехугольника с перпендиеклярными диагоналями равна
SABCD=21BD⋅AC=21⋅6⋅38=8.
