Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияСтатГрад 11.02.2025

Точки

P

Q

W

делят стороны выпуклого четырёхугольника

ABCD

в отношении

{AP : PB = CQ : QB = CW : WD =1:3}

. В треугольнике

PQW

угол

W

острый, при этом радиус описанной около этого треугольника
окружности равен

\dfrac{5}{4}

PQ = 2

QW = \dfrac{3}{2}

.

а) Докажите, что треугольник

PQW

прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника

ABCD

Решение

а) Пусть

\angle QWP = \alpha,

\angle QPW = \beta

. По условию

PQ > QW

, значит

\angle QWP > \angle QPW

, так как напротив большей стороны лежит больший угол, следовательно,

\angle QPW

— острый.
По теореме синусов в

\triangle PQW

\dfrac{PQ}{\sin \alpha} = 2R \Leftrightarrow \dfrac{2}{\sin \alpha}=\dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{4}{5}.

\dfrac{QW}{\sin \beta} = 2R \Leftrightarrow \dfrac{3}{2\sin \alpha}=\dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \sin \beta = \dfrac{3}{5}.

Так как углы

\alpha

\beta

острые, то по основному тригонометрическому тождеству:

\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{1-\dfrac{16}{25}}= \dfrac{3}{5}.

\cos \beta = \sqrt{1 - \sin ^2 \beta} = \sqrt{1- \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}.

Тогда

\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{3}{5}= 1.

Таким образом,

\alpha + \beta = 90^\circ

\angle PQW = 180 - (\alpha + \beta) = 90^\circ

б) Проведём диагонали

AC

BD

четырехугольника

ABCD

. Заметим, что

{\triangle CQW \sim \triangle CBD}

(по двум пропорциональным сторонам и углу между ними):

\angle C

— общий,

\dfrac{CQ}{CB} = \dfrac{CW}{CD}= \dfrac{1}{4}

, следовательно,

QW \parallel BD \quad и \quad \dfrac{QW}{BD}=\dfrac{1}{4}.

Следовательно,

BD = 4BD = 6.

Аналогично,

\triangle BPQ \sim \triangle BAC

с коэффициентом подобия

k = \dfrac{3}{4}

, следовательно,

\dfrac{PQ}{AC}= \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow AC = \dfrac{4}{3}PQ = \dfrac{8}{3}.

Так как

QW \parallel BD

PQ \parallel AC

\angle PQW = 90^\circ

, то угол между прямыми

BD

AC

равен

90^\circ

Таким образом, площадь четырехугольника с перпендиеклярными диагоналями равна

S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}BD \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \dfrac{8}{3}=8.

Ответ:

8

Похожие задачи