Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
{4x−y+a=0,2∣y∣−x2+4x=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Преобразуем второе уравнение системы:
2∣y∣−x2+4x=0,∣y∣=2x2−2x. Поскольку левая часть неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:
2x2−2x⩾0,x(x−4)⩾0,x∈(−∞;0]∪[4;+∞). Таким образом, уравнение ∣y∣=2x2−2x имеет решения при x∈(−∞;0]∪[4;+∞). График этого уравнения состоит из частей двух парабол:
y=2x2−2x(верхняяпарабола)иy=−2x2+2x(нижняяпарабола). Уравнение y=4x+a задаёт множество параллельных прямых с угловым коэффициентом~4.
Изобразим в осях Oxy график, состоящий из парабол, и прямые в основных положениях.
I) Найдём a, при котором прямая y=4x+a касается параболы y=−2x2+2x. Это происходит, когда парабола и прямая имеют ровно одну точку пересечения:
−2x2+2x=4x+a;x2+4x+2a=0;D=42−4⋅(2a)=0,a=2. Найдём абсциссу точки касания: xkac=2−4=−2,xkac<0, значит, точка касания лежит на той части параболы, которая нам нужна.
II) Найдём a, при котором прямая y=4x+a проходит через точку (0;0): 0=4⋅0+a,a=0. III)
Найдём a, при котором прямая y=4x+a проходит через точку (4;0): 0=4⋅4+a,a=−16. IV) Найдём a, при котором прямая y=4x+a касается параболы y=2x2−2x. Это происходит, когда парабола и прямая имеют ровно одну точку пересечения:
2x2−2x=4x+a;x2−12x−2a=0;D=(−12)2−4⋅(−2a)=0,a=−18. Найдём абсциссу точки касания: xkac=212=6,xkac>4, значит, точка касания лежит на той части параболы, которая нам нужна.
}
Значит,
1) при a∈{−18;−16;0;2} система имеет 3 решения;
2) при a∈(−18;−16)∪(0;2) система имеет 4 решения;
3)при a∈(−∞;−18)∪(−16;0)∪(2;+∞) система имеет 2 решения.
