Неравенства с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
Неравенства
СтатГрад 13.12.2023
Решите неравенство ∣x−3∣x3−27−x∣x−3∣⩾0.
Решение
Решим неравенство:∣x−3∣x3−27−x∣x−3∣⩾0.Приведём к общему знаменателю:∣x−3∣x3−27−x∣x−3∣2⩾0.Так как ∣x−3∣2=(x−3)2, а знаменатель положителен при x=3, получаем систему:{x=3,x3−27−x(x−3)2⩾0.Разложим второе неравенство:(x−3)(x2+3x+9)−x(x−3)2⩾0,(x−3)(x2+3x+9−x2+3x)⩾0,3(x−3)(2x+3)⩾0.Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
По методу интервалов с учётом x=3:x∈(−∞;−23]∪(3;+∞).Ответ: (−∞;−23]∪(3;+∞).
