Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Экономические задачи

ФИПИ

15

-го декабря планируется взять кредит в банке на

11

месяцев. Условия его возврата таковы:
—

1

-го числа каждого месяца долг возрастает на

1 \%

по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со

2

-го по

14

-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
—

15

-го числа каждого месяца с

1

-го по

10

-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на

15

-е число предыдущего месяца;
—

15

-го числа

10

-го месяца долг составит

300

тысяч рублей;
— к

15

-му числу

11

-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит

1388

тысяч рублей?

Решение

Пусть

S

тыс. рублей — сумма кредита, взятая 15-го декабря. Срок

n = 11

месяцев. Долг на 15-е число каждого месяца с 1-го по 10-й уменьшается на одну и ту же сумму, значит, он погашается равными долями от основного долга. Обозначим через

d

величину, на которую уменьшается долг каждый месяц:

d = \frac{S - 300}{10}.

Обозначим

k = 1 + \dfrac{1}{100} = 1,01

— коэффициент увеличения долга 1-го числа каждого месяца.

Составим таблицу для первых трёх месяцев и для последнего месяца.

$Изображение 1$

Найдём общую сумму выплат, сложив все выплаты за 11 месяцев. Каждая выплата за первые 10 месяцев состоит из двух частей:

(k-1)S

и слагаемого с

d

.
Выпишем все выплаты за первые 10 месяцев в виде:

\begin{aligned}&kS - (S - d); \\&k(S - d) - (S - 2d); \\&k(S - 2d) - (S - 3d); \\&\cdots \\&k(S - 9d) - (S - 10d).\end{aligned}

Сложим их. Заметим, что при сложении

kS + k(S - d) + \dots + k(S - 9d) = k(10S - d(1+2+\dots+9))

. Сумма

1+2+\dots+9 = 45

, поэтому эта часть равна

k(10S - 45d)

.

Теперь вычтем сумму

(S - d) + (S - 2d) + \dots + (S - 10d)

. Это сумма арифметической прогрессии из 10 членов: первый член

S - d

, последний

S - 10d

. Их сумма:

\frac{(S - d) + (S - 10d)}{2} \cdot 10 = \frac{2S - 11d}{2} \cdot 10 = 5(2S - 11d) = 10S - 55d.

Таким образом, сумма выплат за первые 10 месяцев равна:

k(10S - 45d) - (10S - 55d) = 10kS - 45kd - 10S + 55d = 10(k-1)S + d(55 - 45k).

Добавим выплату за 11-й месяц:

300k

. Общая сумма выплат:

X = 10(k-1)S + d(55 - 45k) + 300k.

Подставим

d = \dfrac{S - 300}{10}

X = 10(k-1)S + \frac{S - 300}{10}(55 - 45k) + 300k;

X = 10(k-1)S + \frac{55 - 45k}{10}S - \frac{55 - 45k}{10} \cdot 300 + 300k;

X = S\left(10(k-1) + \frac{55 - 45k}{10}\right) - 30(55 - 45k) + 300k;

X = S\left(10k - 10 + 5,5 - 4,5k\right) -1650 + 1350k + 300k;\\X = S(5,5k - 4,5) + 1650(k - 1).

Подставим

k = 1,01

X = 1,055S + 1650 \cdot 0,01 = 1,055S + 16,5.

По условию

X = 1388

1,055S + 16,5 = 1388;\\ 1,055S = 1371,5;\\S = \frac{1371,5}{1,055} = 1300.

Таким образом, сумма кредита составляет 1300 тысяч рублей.\\

Ответ:

1300000

Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи