15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
– к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1388 тысяч рублей?
Решение
Пусть S тыс. рублей — сумма кредита, взятая 15-го декабря. Срок n=11 месяцев. Долг на 15-е число каждого месяца с 1-го по 10-й уменьшается на одну и ту же сумму, значит, он погашается равными долями от основного долга. Обозначим через d величину, на которую уменьшается долг каждый месяц:
d=10S−300. Обозначим k=1+1001=1,01 — коэффициент увеличения долга 1-го числа каждого месяца.
Составим таблицу для первых трёх месяцев и для последнего месяца.
Найдём общую сумму выплат, сложив все выплаты за 11 месяцев. Каждая выплата за первые 10 месяцев состоит из двух частей: (k−1)S и слагаемого с d. Выпишем все выплаты за первые 10 месяцев в виде:
kS−(S−d);k(S−d)−(S−2d);k(S−2d)−(S−3d);⋯k(S−9d)−(S−10d). Сложим их. Заметим, что при сложении kS+k(S−d)+⋯+k(S−9d)=k(10S−d(1+2+⋯+9)). Сумма 1+2+⋯+9=45, поэтому эта часть равна k(10S−45d).
Теперь вычтем сумму (S−d)+(S−2d)+⋯+(S−10d). Это сумма арифметической прогрессии из 10 членов: первый член S−d, последний S−10d. Их сумма:
2(S−d)+(S−10d)⋅10=22S−11d⋅10=5(2S−11d)=10S−55d. Таким образом, сумма выплат за первые 10 месяцев равна:
k(10S−45d)−(10S−55d)=10kS−45kd−10S+55d=10(k−1)S+d(55−45k). Добавим выплату за 11-й месяц: 300k. Общая сумма выплат:
X=10(k−1)S+d(55−45k)+300k. Подставим d=10S−300: X=10(k−1)S+10S−300(55−45k)+300k; X=10(k−1)S+1055−45kS−1055−45k⋅300+300k; X=S(10(k−1)+1055−45k)−30(55−45k)+300k; X=S(10k−10+5,5−4,5k)−1650+1350k+300k;X=S(5,5k−4,5)+1650(k−1). Подставим k=1,01: X=1,055S+1650⋅0,01=1,055S+16,5. По условию X=1388: 1,055S+16,5=1388;1,055S=1371,5;S=1,0551371,5=1300. Таким образом, сумма кредита составляет 1300 тысяч рублей.\\
