Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
{4ax⋅2x2<7−(x+2a),2x3+x2+x<2a3+a2+a имеет хотя бы одно решение на отрезке [−2;1].
Решение
Рассмотрим первое неравенство системы. Приведём степенные выражения к одному основанию и воспользуемся свойствами степеней:
2x2+2ax<2log27−(x+2a);2x2+2ax−2log27−(x+2a)<0. Учтём, что 2>1, и воспользуемся методом рационализации:
x2+2ax−log27⋅(−(x+2a))<0;x(x+2a)+log27⋅(x+2a)<0;(x+2a)(x+log27)<0. Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Получим:
{x+2a>0,x+log27<0,{x+2a<0,x+log27>0. Рассмотрим первую систему этой совокупности. Заметим, что x+log27>0 на отрезке [−2;1], так как 2<log27<3. Значит, решений нет.
Рассмотрим вторую систему этой совокупности.
Её второе неравенство верно всегда, первое же неравенство в системе координат Oxa задаёт область под прямой a=−2x. Рассмотрим второе неравенство исходной системы. Пусть f(t)=2t3+t2+t, тогда неравенство имеет вид f(x)<f(a). Исследуем f(t) на монотонность при помощи производной:
f′(t)=6t2+2t+1. Найдём нули производной:
6t2+2t+1=0;D=4−4⋅1⋅6=−20<0. Получаем, что производная всегда имеет один и тот же знак, причем f′(0)=1>0, значит, производная при всех t положительна, тогда f(t) является монотонно возрастающей функцией. Следовательно, неравенство f(x)<f(a) равносильно неравенству x<a. В системе координат Oxa оно задаёт область выше прямой a=x. Найдём точку пересечения a=x и a=−2x: x=−2x;x=0,a=0. То есть, точка имеет координаты (0;0). Точка пересечения a=x и x=−2 имеет координаты (−2;−2). Точка пересечения a=x и x=1 имеет координаты (1;1). Точка пересечения a=−2x и x=−2 имеет координаты (−2;1). Точка пересечения a=−2x и x=1 имеет координаты (1;−0,5). Начертим график в системе координат Oxa. Запустим горизонтальную считывающую прямую, отметим на рисунке несколько положений прямой и подпишем количество решений системы.
Нам нужно хотя бы одно решение, что соответствует всем положениям между I и II, не включая границы.
Положение I Прямая проходит через точку (−2;−2), то есть a=−2. Положение II. Прямая проходит через точку (−2;1), то есть a=1. Значит, a∈(−2;1). Ответ: a∈(−2;1).
