Система неравенств с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГЭ 2026 (досрок)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система

\begin{cases} 4^{ax}\cdot2^{x^2}<7^{-(x+2a)},\\ 2x^3+x^2+x<2a^3+a^2+a\end{cases}

имеет хотя бы одно решение на отрезке

[-2;1]

Решение

Рассмотрим первое неравенство системы. Приведём степенные выражения к одному основанию и воспользуемся свойствами степеней:

2^{x^2+2ax}<2^{\log_2{7^{-(x+2a)}}};\\2^{x^2+2ax}-2^{\log_2{7^{-(x+2a)}}}<0.

Учтём, что

2>1

, и воспользуемся методом рационализации:

x^2+2ax-\log_2{7}\cdot(-(x+2a))<0;\quad x(x+2a)+\log_2{7}\cdot (x+2a)<0;\\(x+2a)(x+\log_2{7})<0.

Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Получим:

\left[\begin{gathered} \begin{cases}x+2a>0, \\x+\log_2{7}<0,\ \end{cases} \\\begin{cases}x+2a<0, \\x+\log_2{7}>0. \end{cases} \\\end{gathered}\right.

Рассмотрим первую систему этой совокупности. Заметим, что

x+\log_2{7}>0

на отрезке

[-2;1]

, так как

2<\log_27<3

. Значит, решений нет.
Рассмотрим вторую систему этой совокупности.
Её второе неравенство верно всегда, первое же неравенство в системе координат

Oxa

задаёт область под прямой

a=-\dfrac{x}{2}

.
Рассмотрим второе неравенство исходной системы. Пусть

f(t) = 2t^3+t^2+t

, тогда неравенство имеет вид

f(x) < f(a).

Исследуем

f(t)

на монотонность при помощи производной:

f'(t)=6t^2+2t+1.

Найдём нули производной:

6t^2+2t+1=0; \quad D=4-4\cdot 1\cdot 6=-20<0.

Получаем, что производная всегда имеет один и тот же знак, причем

f'(0)=1>0

, значит, производная при всех

t

положительна, тогда

f(t)

является монотонно возрастающей функцией. Следовательно, неравенство

f(x) < f(a)

равносильно неравенству

x < a

.
В системе координат

Oxa

оно задаёт область выше прямой

a=x.

Найдём точку пересечения

a=x

a=-\dfrac{x}{2}

x=-\dfrac{x}{2};\quad x=0, \ a=0.

То есть, точка имеет координаты

(0;0).

Точка пересечения

a=x

x=-2

имеет координаты

(-2;-2).

Точка пересечения

a=x

x=1

имеет координаты

(1;1).

Точка пересечения

a=-\dfrac{x}{2}

x=-2

имеет координаты

(-2;1).

Точка пересечения

a=-\dfrac{x}{2}

x=1

имеет координаты

(1;-0{,}5).

Начертим график в системе координат

Oxa

. Запустим горизонтальную считывающую прямую, отметим на рисунке несколько положений прямой и подпишем количество решений системы.

$Изображение 1$

Нам нужно хотя бы одно решение, что соответствует всем положениям между I и II, не включая границы.
Положение I Прямая проходит через точку

(-2;-2)

, то есть

a=-2.

Положение II. Прямая проходит через точку

(-2;1)

, то есть

a=1

.
Значит,

a\in(-2;1).

Ответ:

a\in(-2;1)

Похожие задачи