В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания - точки B1 и C1, причём BB1 - образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
a) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите объём цилиндра, если AB=7,BB1=24,B1C1=10.
Решение
а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую AC1. Пусть она пересекает основание цилиндра в точке C. Получаем, что CC1 - образующая, а AC пересекает ось цилиндра, то есть проходит через центр нижнего основания.
Тогда AC - диаметр, а ∠ABC=90∘ как вписанный и опирающийся на диаметр. CC1⊥ABC⇒CC1⊥AB. Так как CC1⊥AB и BC⊥AB, то AB⊥BCC1, тогда AB⊥C1B⇒∠ABC1=90∘. Что и требовалось доказать.
б) Так как BB1C1C - прямоугольник (BB1 и CC1 - образующие, BB1=CC1,BB1∥CC1,CC1⊥AB), то BC=B1C1=10. По теореме Пифагора в △ABC:AC=d=AB2+BC2=72+102=149. CC1=BB1=h=24, тогда :
Vц.=πr2h=4πd2h=4149π⋅24=149π⋅6=894π Ответ: б) 894π.
