Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых начинается с пятёрки, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа.
а) Может ли у Полины получиться число 2?
б) Может ли у Полины получиться число 15,5?
в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?
Решение
Пусть Юра задумал двузначные числа
и составил из них четырёхзначное число
xy=100x+y, где x и y -- двузначные числа.
а) Полина делит число xy на x и на y. Пусть в итоге получится 2, тогда
x⋅yxy=2,xy=2xy,100x+y=2xy;4xy−2y−200x=0;2y(2x−1)−100(2x−1)−100=0;(2y−100)(2x−1)=100. Одно из чисел x или y начинается с 5.
1) Пусть с 5 начинается y, тогда
y∈[50;59],2y∈[100;118],2y−100∈[0;18]. Положительные числа из этого отрезка,
которые являются делителями 100, это
1, 2, 4, 5, 10.
(а) 2y−100=1,2y=101,y=2101∈/N; (б) 2y−100=2,2y=102,y=51. Подставим в уравнение:
(2y−100)(2x−1)=100;2⋅(2x−1)=100;2x−1=50;2x=51,x=251∈/N; (в) 2y−100=4,2y=104,y=52.
Подставим в уравнение:
(2y−100)(2x−1)=100;4⋅(2x−1)=100;2x−1=25;2x=26,x=13. Значит, x=13,y=52,xy=1352,13⋅521352=2, верно.
Примечание: Если попробовать вариант,
в котором x начинается с 5, то
придём к противоречию. Пусть x начинается с 5, тогда x∈[50;59], 2x∈[100;118],2x−1∈[99;117]. Из всех чисел отрезка [99;117] делителем числа 100 является только 100.
Получим 2x−1=100, тогда
2y−100=1;2y=101;y=2101∈/N. Значит, с пятёрки начинается только y.
в) Найдём наибольшее возможное значение числа Полины.
x⋅y100x+y=y100+x1. Если с 5 начинается x, то
{x∈[50;59],y∈[10;99],тогда xy100x+y=y100+x1≤10100+501=10501. Приведём пример: x=50,y=10, тогда
50⋅105010=50501=10501. Если с 5 начинается y, то
{x∈[10;99],y∈[50;59]; xy100x+y=y100+x1≤50100+101=50105=2101, а это меньше предыдущей оценки 10501. Значит, наибольшее возможное значение 10501, пример x=50, \ y=10. б) 15,5<10501, значит, это невозможно.
