Параллелограмм — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

На стороне

B C

параллелограмма

A B C D

выбрана точка

M

такая, что

A M=M C

.

a) Докажите, что центр вписанной в треугольник

A M D

окружности лежит на диагонали

A C

.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник

A M D

окружности, если

A B=5, B C=10, \angle BAD=60^{\circ}

Решение

а) Треугольник

AMC

равнобедренный (

AM = MC

), поэтому

\angle MAC = \angle MCA

.

Так как

AD \parallel BC

AC

— секущая, то

\angle DAC = \angle ACM

как накрест лежащие углы. Значит,

\angle DAC = \angle MCA = \angle MAC

. Следовательно,

\angle DAC = \angle MAC

, то есть

AC

является биссектрисой угла

MAD

треугольника

AMD

. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении его биссектрис, значит, он принадлежит биссектрисе

AC

$Изображение 1$

б) Пусть

BM = x

, тогда

MC = BC - BM = 10 - x

. По условию

AM = MC

, поэтому

AM = 10 - x

.

Сумма односторонних углов параллелограмма равна

180^{\circ}

, поэтому

\angle ABM = 180^\circ - \angle BAD = 120^\circ.

Рассмотрим треугольник

ABM

. Применим теорему косинусов:

AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos \angle ABM.

Подставляем известные величины:

(10 - x)^2 = 5^2 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot \cos 120^\circ;

(10 - x)^2 = 25 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot \left( -\frac{1}{2} \right);

(10 - x)^2 = 25 + x^2 + 5x;

100 - 20x + x^2 = 25 + x^2 + 5x;

100 - 20x = 25 + 5x;

75 = 25x;

x = 3.

Таким образом,

BM = 3

MC = AM = 7

.

Теперь найдём сторону

MD

из треугольника

MCD

. Так как

ABCD

— параллелограмм, то

CD = AB = 5

\angle MCD = \angle BAD = 60^\circ

. По теореме косинусов получаем:

MD^2 = MC^2 + CD^2 - 2 \cdot MC \cdot CD \cdot \cos 60^\circ = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 49 + 25 - 35 = 39.

Следовательно,

MD = \sqrt{39}

.

Найдём площадь треугольника

AMD

. Основание

AD = BC = 10

. Опустим высоту

BH

из точки

B

на сторону

AD

(она же является высотой параллелограмма и треугольника

AMD

, так как

M

лежит на

BC

, параллельной

AD

). В прямоугольном треугольнике

ABH

имеем:

BH = AB \cdot \sin 60^\circ = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}.

Тогда площадь треугольника

AMD

равна:

S = S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}.

$Изображение 2$

Полупериметр треугольника

AMD

равен:

p = \dfrac{P_{AMD}}{2} = \dfrac{AM + MD + AD}{2} = \frac{7 + \sqrt{39} + 10}{2} = \frac{17 + \sqrt{39}}{2}.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p} = \frac{\dfrac{25\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{17 + \sqrt{39}}{2}} = \frac{25\sqrt{3}}{17 + \sqrt{39}}.

Ответ:

\dfrac{25\sqrt{3}}{17 + \sqrt{39}}

Параллелограмм — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи