На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC.
a) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5,BC=10,∠BAD=60∘.
Решение
а) Треугольник AMC равнобедренный (AM=MC), поэтому ∠MAC=∠MCA.
Так как AD∥BC и AC — секущая, то ∠DAC=∠ACM как накрест лежащие углы. Значит, ∠DAC=∠MCA=∠MAC. Следовательно, ∠DAC=∠MAC, то есть AC является биссектрисой угла MAD треугольника AMD. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении его биссектрис, значит, он принадлежит биссектрисе AC.
б) Пусть BM=x, тогда MC=BC−BM=10−x. По условию AM=MC, поэтому AM=10−x.
Сумма односторонних углов параллелограмма равна 180∘, поэтому
∠ABM=180∘−∠BAD=120∘. Рассмотрим треугольник ABM. Применим теорему косинусов:
AM2=AB2+BM2−2⋅AB⋅BM⋅cos∠ABM. Подставляем известные величины:
(10−x)2=52+x2−2⋅5⋅x⋅cos120∘; (10−x)2=25+x2−2⋅5⋅x⋅(−21); (10−x)2=25+x2+5x; 100−20x+x2=25+x2+5x; 100−20x=25+5x; 75=25x; x=3. Таким образом, BM=3 и MC=AM=7.
Теперь найдём сторону MD из треугольника MCD. Так как ABCD — параллелограмм, то CD=AB=5 и ∠MCD=∠BAD=60∘. По теореме косинусов получаем:
MD2=MC2+CD2−2⋅MC⋅CD⋅cos60∘=72+52−2⋅7⋅5⋅21=49+25−35=39. Следовательно, MD=39.
Найдём площадь треугольника AMD. Основание AD=BC=10. Опустим высоту BH из точки B на сторону AD (она же является высотой параллелограмма и треугольника AMD, так как M лежит на BC, параллельной AD). В прямоугольном треугольнике ABH имеем:
BH=AB⋅sin60∘=5⋅23=253. Тогда площадь треугольника AMD равна:
S=SAMD=21⋅AD⋅BH=21⋅10⋅253=2253.
Полупериметр треугольника AMD равен:
p=2PAMD=2AM+MD+AD=27+39+10=217+39. Таким образом, радиус вписанной окружности равен:
r=pS=217+392253=17+39253. Ответ: 17+39253.
