Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений {a−y2=a−x2,x2+y2=2x+4y имеет ровно два различных решения.
Решение
Заметим, что при a<0 верно, что a−x2<0, следовательно, первое уравнение системы не имеет решений. Таким образом, далее будем рассматривать случай a⩾0.
Уравнение a−y2=a−x2 равносильно системе
{a−y2=a−x2,a−x2⩾0,⇔{x2=y2,x2⩽a,⇔{(x−y)(x+y)=0,−a⩽x⩽a. Преобразуем второе уравнение системы:
x2+y2=2x+4y⇒x2−2x+y2−4y=0⇒(x−1)2+(y−2)2=5.(∗) Это уравнение задаёт окружность с центром в точке (1;2) и радиусом 5. Причём эта окружность проходит через точку (0;0).
Уравнения y=x и y=−x задают прямые, проходящие через точку (0;0), с угловыми коэффициентами 1 и −1.
Выражение
−a⩽x⩽a(∗∗) задаёт полосу между вертикальными прямыми y=−a и y=a, включая границу.
Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:
⎩⎨⎧y=−x,(x−1)2+(y−2)2=5,−a⩽x⩽a;(1)⎩⎨⎧y=x,(x−1)2+(y−2)2=5,−a⩽x⩽a.(2) При a⩾0 обе системы имеют общее решение (0;0).
Выясним, при каких значениях параметра a система (1) имеет два решения. Найдём точку пересечения прямой y=−x и окружности (*):
(x−1)2+(−x−2)2=5;⇒x2−2x+1+x2+4x+4=5⇒x(x+1)=0. Таким образом, они пересекаются в точках (0;0) и (−1;1).
Значит, (1) имеет два решения, когда точка (−1;1) попадает в полосу (**), то есть при a⩾1.
Выясним, при каких значениях параметра a система (2) имеет два решения. Найдём точку пересечения прямой y=x и окружности (*):
(x−1)2+(x−2)2=5;⇒x2−2x+1+x2−4x+4=5⇒x(x−3)=0. Таким образом, они пересекаются в точках (0;0) и (3;3).
Значит, (2) имеет два решения, когда точка (3;3) попадает в полосу (**), то есть при a⩾9.
Итого, получаем:
1) при a<0 система не имеет решений;
2) при 0⩽a<1 система имеет 1 решение;
3) при 1⩽a<9 система имеет 2 решения;
4) при a⩾9 система имеет 3 решения.
