Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание BC равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение
Пусть M — середина AB. Продлим биссектрису DM до пересечения с прямой BC в точке P. Из параллельности оснований и равенства углов при биссектрисе получаем ∠CPD=∠CDP, значит PC=CD=25. Тогда PB=PC−BC=25−9=16. Треугольники PBM и DAM подобны, а AM=MB, поэтому AD=PB=16. Проведём CE∥AB,E∈AD. Тогда ABCE — параллелограмм: CE=AB=24,AE=BC=9. Следовательно, ED=AD−AE=7. По данным CE2+ED2=242+72=252=CD2, поэтому CE — высота трапеции. Тогда S=2AD+BC⋅CE=216+9⋅24=300.
