Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
{((x−3)2+(y−3)2−1)((x−1)2+y2)≤0,y−2=ax не имеет решений.
Решение
Рассмотрим первое неравенство системы. Заметим, что второй множитель равен нулю только при x=1,y=0, а при всех остальных значениях переменных положителен. Разделим на него, получим:
(x−3)2+(y−3)2−1⩽0. Это неравенство задаёт круг с центром (3;3) радиуса 1, включая границу. Таким образом, первое неравенство системы в координатах Oxy задаёт круг с центром (3;3) радиуса 1, включая границу, а также изолированную точку (1;0).
Второе уравнение задаёт пучок прямых y=ax+2, проходящих через точку (0;2). Начертим графики в системе Oxy и отметим ключевые положения прямой y=ax+2. Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.
Положение I: прямая y=ax+2 проходит через точку (1;0): 0=a+2,a=−2. Положения II, III: прямая y=ax+2 касается окружности (x−3)2+(y−3)2=1. Это происходит, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности. Расстояние от точки M(x0;y0) до прямой l:Ax+By+C=0 вычисляется по формуле:
ρ(M;l)=A2+B2∣Ax0+By0+C∣. Центр окружности O имеет координаты (3;3), а прямая l имеет вид: −ax+y−2=0, тогда подставляем в формулу:
1+a2∣−3a+3−2∣=1,∣1−3a∣=1+a2,(1−3a)2=1+a2; 1−6a+9a2=1+a2,8a2−6a=0,2a(4a−3)=0; a=0,a=43. Положению II соответствует a=0, а положению III соответствует a=43. Система не должна иметь решений, что соответствует всем положениям, кроме положения I и всех положений между II и III, включая границы.
Значит, a∈(−∞;−2)∪(−2;0)∪(43;+∞). Ответ: a∈(−∞;−2)∪(−2;0)∪(43;+∞).
