Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(4x−3∣x+a2∣+∣x−1∣+3a2)2−(a+1)(4x−3∣x+a2∣+∣x−1∣+3a2)+4=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Пусть t=4x−3∣x+a2∣+∣x−1∣+3a2, тогда уравнение примет вид t2−(a+1)t+4=0. Проанализируем замену. Раскроем модули по определению, для этого воспользуемся числовой прямой.
Заметим, что при любых a верно, что −a2<1.
1) x⩽−a2: t=4x+3(x+a2)−(x−1)+3a2=4x+3x+3a2−x+1+3a2=6x+6a2+1. 2) −a2<x<1: t=4x−3(x+a2)−(x−1)+3a2=4x−3x−3a2−x+1+3a2=1. 3) x⩾1: t=4x−3(x+a2)+(x−1)+3a2=4x−3x−3a2+x−1+3a2=2x−1. В системе Oxt построим график функции t=4x−3∣x+a2∣+∣x−1∣+3a2:
Заметим, что каждому значению t, кроме 1, соответствует одно значение x, а t=1 соответствует бесконечное количество значений x. Следовательно, для того, чтобы исходное уравнение имело два различных корня, уравнение t2−(a+1)t+4=0 должно иметь два корня и оба корня должны быть отличны от единицы. Найдём дискриминант и учтём, что t=1: {(a+1)2−16>0,1−(a+1)+4=0,{(a+1−4)(a+1+4)>0,1−a−1+4=0,{(a−3)(a+5)>0,a=4.
