Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ФИПИЕГЭ 2025 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\bigl(4x -3|x + a^2| + |x - 1| + 3a^2\bigr)^2 - (a + 1)\bigl(4x -3|x + a^2| + |x - 1| + 3a^2\bigr) + 4 = 0

имеет ровно два различных решения.

Решение

Пусть

t = 4x - 3|x+a^2| + |x-1| + 3a^2

, тогда уравнение примет вид

t^2-(a+1)t+4=0.

Проанализируем замену. Раскроем модули по определению, для этого воспользуемся числовой прямой.
Заметим, что при любых

a

верно, что

-a^2<1.

$Изображение 1$

x \leqslant -a^2

t = 4x + 3(x+a^2) - (x-1) + 3a^2 = 4x + 3x + 3a^2 - x + 1 + 3a^2 = 6x + 6a^2 + 1.

-a^2 < x < 1

t = 4x - 3(x+a^2) - (x-1) + 3a^2 = 4x - 3x - 3a^2 - x + 1 + 3a^2 = 1.

x \geqslant 1

t = 4x - 3(x+a^2) + (x-1) + 3a^2 = 4x - 3x - 3a^2 + x - 1 + 3a^2 = 2x - 1.

В системе

Oxt

построим график функции

t = 4x - 3|x+a^2| + |x-1| + 3a^2

$Изображение 2$

Заметим, что каждому значению

t

, кроме

1

, соответствует одно значение

x

, а

t=1

соответствует бесконечное количество значений

x

.
Следовательно, для того, чтобы исходное уравнение имело два различных корня, уравнение

t^2 - (a+1)t + 4 = 0

должно иметь два корня и оба корня должны быть отличны от единицы. Найдём дискриминант и учтём, что

t \neq 1

\begin{cases}(a+1)^2 - 16 > 0, \\1 - (a+1) + 4 \neq 0,\end{cases}\quad \begin{cases}(a+1-4)(a+1+4) > 0, \\1 - a - 1 + 4 \neq 0,\end{cases}\quad \begin{cases}(a-3)(a+5) > 0, \\a \neq 4.\end{cases}

$Изображение 3$

Тогда получим

a \in (-\infty; -5) \cup (3; 4) \cup (4; +\infty)

.

Ответ:

a \in (-\infty; -5) \cup (3; 4) \cup (4; +\infty)

Похожие задачи