Набор чисел на доске/карточках — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселСтатГрад 23.04.2025

Юра распечатал на принтере карточки со всеми трёхзначными натуральными числами, которые равны

n^2 + 8n

при некотором натуральном

n

. Когда его сестра Катя пришла из школы, она выбрала все карточки с числами, оканчивающимися цифрой

4

.

а) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается

84

?
б) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается

54

?
в) Сколько всего у Кати карточек?

Решение

а) Да, могла. При

n = 16

n^2 + 8n = 16^2+8 \cdot 16 = 384.

Данное число оканчивается на

84

.
б) Предположим, что число

n^2+8n

оканчивается на

54

. Тогда

n^2+8n+16 = (n+4)^2

оканчивается на

70

. Следовательно, число

(n+4)^2

кратно

10

. что если полный квадрат делится на

10

, то он обязательно делится на

100

. Таким образом, число должно оканчиваться на два нуля, но оно оканичвается на

70

. Противоречие.
в) Из пункта б) следует, что число

(n+4)^2

оканчивается на

00

, то есть кратно

100

.

По условию числа вида

n^2+8n

являются трёхзначными, поэтому

100 \leq n^2+8n \leq 999 \quad \Rightarrow \quad 116 \leq (n+4)^2 \leq 1015.

В промежутке

[116;\,1015]

единственными полными квадратами, кратными

100

, являются

20^2=400

30^2=900

.

Следовательно,

(n+4)^2=400

или

(n+4)^2=900

, откуда

n+4=20

или

n+4=30

(учитывая, что

n

--- натуральное число). Значит,

n=16

или

n=26

.

Вычислим соответствующие значения выражения

n^2+8n

:

-- при

n=16

16^2+8\cdot16 = 256+128 = 384

;
-- при

n=26

26^2+8\cdot26 = 676+208 = 884

.

Таким образом, у Кати могут быть только две карточки с числами

384

884

.

Ответ: а) Да; б) Нет; в)

2

Похожие задачи