Юра распечатал на принтере карточки со всеми трёхзначными натуральными числами, которые равны n2+8n при некотором натуральном n. Когда его сестра Катя пришла из школы, она выбрала все карточки с числами, оканчивающимися цифрой 4.
а) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается 84? б) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается 54? в) Сколько всего у Кати карточек?
Решение
а) Да, могла. При n=16: n2+8n=162+8⋅16=384. Данное число оканчивается на 84. б) Предположим, что число n2+8n оканчивается на 54. Тогда n2+8n+16=(n+4)2 оканчивается на 70. Следовательно, число (n+4)2 кратно 10. что если полный квадрат делится на 10, то он обязательно делится на 100. Таким образом, число должно оканчиваться на два нуля, но оно оканичвается на 70. Противоречие.
в) Из пункта б) следует, что число (n+4)2 оканчивается на 00, то есть кратно 100.
По условию числа вида n2+8n являются трёхзначными, поэтому
100≤n2+8n≤999⇒116≤(n+4)2≤1015.
В промежутке [116;1015] единственными полными квадратами, кратными 100, являются 202=400 и 302=900.
Следовательно, (n+4)2=400 или (n+4)2=900, откуда n+4=20 или n+4=30 (учитывая, что n --- натуральное число). Значит, n=16 или n=26.
Вычислим соответствующие значения выражения n2+8n:
-- при n=16:162+8⋅16=256+128=384; -- при n=26:262+8⋅26=676+208=884.
Таким образом, у Кати могут быть только две карточки с числами 384 и 884.
