Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x4+x2−10a2=x4−9ax имеет ровно один корень.
Решение
Уравнение f(x)=g(x) равносильно любой из систем
{f(x)=g(x),f(x)⩾0и{f(x)=g(x),g(x)⩾0.{x4+x2−10a2=x4−9ax,x4−9ax⩾0;{x2+9ax−10a2=0,(1)x4−9ax⩾0.(1)x2+9ax−10a2=0;D=81a2+4⋅10a2=121a2;x1=2−9a−11a=−10a;x2=2−9a+11a=a.⎩⎨⎧[x=−10a,x=a,x4−9ax⩾0.(2) Если корни x=−10a и x=a совпадают, то у нас есть
один корень и он должен удовлетворять (2):
−10a=a,a=0,x=0. Подставим в (2): 04−9⋅0⩾0;0⩾0 верно. a=0 - подходит.
Если корни не совпадают (a=0), то ровно один из них удовлетворяет условию (2), а другой нет.
Корень x=−10a удовлетворяет (2), если
(−10a)4−9a⋅(−10a)⩾0;104⋅a4+90a2⩾0;a∈R. Получили, что x=−10a всегда удовлетворяет (2), значит, x=a не должен удовлетворять (2), то есть
a4−9a⋅a<0;a2(a2−9)<0;a2(a−3)(a+3)<0;
a∈(−3;0)∪(0;3). Объединив все найденные решения, получим a∈(−3;3).
