Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

100 параметров 2026Профиматика

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{x^4+x^2-10a^2}=\sqrt{x^4-9ax}

имеет ровно один корень.

Решение

Уравнение

\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}

равносильно любой из систем

\begin{cases}f(x) = g(x), \\f(x) \geqslant 0\end{cases}\quad \text{и} \quad\begin{cases}f(x) = g(x), \\g(x) \geqslant 0.\end{cases}\\[0.5em]\begin{cases}x^4 + x^2 - 10a^2 = x^4 - 9ax, \\x^4 - 9ax \geqslant 0;\end{cases}\quad\begin{cases}x^2 + 9ax - 10a^2 = 0, \quad (1) \\x^4 - 9ax \geqslant 0.\end{cases}\\[0.5em](1) \ x^2 + 9ax - 10a^2 = 0;\\[0.5em]D = 81a^2 + 4 \cdot 10a^2 = 121a^2; \\[0.5em]\quad x_1 = \frac{-9a - 11a}{2} = -10a;\\[0.5em]x_2 = \frac{-9a + 11a}{2} = a.\\[0.5em]\begin{cases}\left[\begin{aligned}& x = -10a, \\& x = a,\end{aligned}\right. \\x^4 - 9ax \geqslant 0. \ (2)\end{cases}

Если корни

x = -10a

x = a

совпадают, то у нас есть
один корень и он должен удовлетворять (2):

-10a = a, \ a = 0, \ x = 0.

Подставим в (2):

0^4 - 9 \cdot 0 \geqslant 0; \ 0 \geqslant 0

верно.

a = 0

- подходит.

Если корни не совпадают (

a \neq 0

), то ровно один из них удовлетворяет условию (2), а другой нет.

Корень

x = -10a

удовлетворяет (2), если

(-10a)^4 - 9a \cdot (-10a) \geqslant 0;\\[0.5em]10^4 \cdot a^4 + 90a^2 \geqslant 0;\\[0.5em]a \in \mathbb{R}.

Получили, что

x = -10a

всегда удовлетворяет (2), значит,

x = a

не должен удовлетворять (2), то есть

a^4 - 9a \cdot a < 0; \\[0.5em]a^2(a^2 - 9) < 0; \\[0.5em]a^2(a - 3)(a + 3) < 0;

a \in (-3; 0) \cup (0; 3).

Объединив все найденные решения, получим

a \in (-3; 3)

.

Ответ:

(-3; 3)

Похожие задачи