На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB=BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.
а) Докажите, что AB:BC=AE:EK.
б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD:DC=5:2.
Решение
а) Так как AB=BD, то треугольник ABD равнобедренный, и его биссектриса BF является также высотой, поэтому AD⊥BF. По условию CK⊥AD, следовательно, BF∥CK.
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника:
BCAB=FCAF.
По обобщённой теореме Фалеса для угла KAC получаем:
EKAE=FCAF. Следовательно,
BCAB=EKAE.
б) Пусть BD=AB=5x, тогда DC=2x и BC=7x. Тогда
BCAB=FCAF=75⇒AF=5y,FC=7y. Из пункта а) следует, что EKAE=75. Так как E — середина AD (так как треугольник ABD равнобедренный), то AE=ED. Пусть AE=ED=5t, тогда EK=7t, откуда DK=EK−ED=2t.
Площади треугольников SABE и SBED равны. Треугольники BED и DKC подобны (по двум углам: ∠BED=∠DKC=90∘,∠BDE=∠CDK как вертикальные). Коэффициент подобия равен
DCBD=2x5x=25=KCBE=DKED. Следовательно, BE=5u,KC=2u.
Прямоугольные треугольники AEF и AKC имеют общий угол KAC, следовательно они подобны. Коэффициент подобия равен
AKAE=5t+5t+2t5t=12t5t=125. Тогда
KCEF=125⇒EF=125⋅KC=125⋅2u=65u. Найдем BF: BF=BE+EF=5u+65u=635u.
Обозначим ∠FBC=α. Найдём SBED и SBFC: SBED=21⋅BE⋅BD⋅sinα=21⋅5u⋅5x⋅sinα; SBFC=21⋅635u⋅7x⋅sinα.
Пусть SBED=30S, тогда SBFC=49S. Четырёхугольник CDEF вместе с треугольником BED составляют треугольник BFC, значит,
SBFC=SBED+SCDEF⇒49S=30S+SCDEF⇒SCDEF=19S. Таким образом,
SCDEFSABE=19S30S=1930. Ответ: 1930.
