Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

На стороне

B C

треугольника

A B C

отмечена точка

D

так, что

A B=B D

. Биссектриса

B F

треугольника

A B C

пересекает прямую

A D

в точке

E

. Из точки

C

на прямую

A D

опущен перпендикуляр

C K

.

а) Докажите, что

A B: B C=A E: E K

.

б) Найдите отношение площади треугольника

A B E

к площади четырёхугольника

C D E F

, если

B D: D C=5: 2

Решение

а) Так как

AB = BD

, то треугольник

ABD

равнобедренный, и его биссектриса

BF

является также высотой, поэтому

AD \perp BF

. По условию

CK \perp AD

, следовательно,

BF \parallel CK

.

По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника:

\frac{AB}{BC} = \frac{AF}{FC}.

По обобщённой теореме Фалеса для угла

KAC

получаем:

\frac{AE}{EK} = \frac{AF}{FC}.

Следовательно,

\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EK}.

$Изображение 1$

б) Пусть

BD = AB = 5x

, тогда

DC = 2x

BC = 7x

. Тогда

\frac{AB}{BC} = \frac{AF}{FC} = \frac{5}{7} \quad \Rightarrow \quad AF = 5y, \quad FC = 7y.

Из пункта а) следует, что

\dfrac{AE}{EK} = \dfrac{5}{7}

. Так как

E

— середина

AD

(так как треугольник

ABD

равнобедренный), то

AE = ED

. Пусть

AE = ED = 5t

, тогда

EK = 7t

, откуда

DK = EK - ED = 2t

.

Площади треугольников

S_{ABE}

S_{BED}

равны. Треугольники

BED

DKC

подобны (по двум углам:

\angle BED = \angle DKC = 90^\circ

\angle BDE = \angle CDK

как вертикальные). Коэффициент подобия равен

\frac{BD}{DC} = \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2} = \frac{BE}{KC} = \frac{ED}{DK}.

Следовательно,

BE = 5u

KC = 2u

.

Прямоугольные треугольники

AEF

AKC

имеют общий угол

KAC

, следовательно они подобны. Коэффициент подобия равен

\frac{AE}{AK} = \frac{5t}{5t + 5t + 2t} = \frac{5t}{12t} = \frac{5}{12}.

Тогда

\frac{EF}{KC} = \frac{5}{12} \quad \Rightarrow \quad EF = \frac{5}{12} \cdot KC = \frac{5}{12} \cdot 2u = \frac{5u}{6}.

Найдем

BF

BF = BE + EF = 5u + \dfrac{5u}{6} = \dfrac{35u}{6}.

Обозначим

\angle FBC = \alpha

. Найдём

S_{BED}

S_{BFC}

S_{BED} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot BD \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 5u \cdot 5x \cdot \sin \alpha;

S_{BFC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{35u}{6} \cdot 7x \cdot \sin \alpha.

$Изображение 2$

Получаем:

\frac{S_{BED}}{S_{BFC}} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot 5u \cdot 5x \cdot \sin \alpha}{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{35u}{6} \cdot 7x \cdot \sin \alpha} = \frac{25}{\dfrac{245}{6}} = \frac{25 \cdot 6}{245} = \frac{150}{245} = \frac{30}{49}.

Следовательно,

S_{BED} = \dfrac{30}{49} S_{BFC}

.

Пусть

S_{BED} = 30S

, тогда

S_{BFC} = 49S

. Четырёхугольник

CDEF

вместе с треугольником

BED

составляют треугольник

BFC

, значит,

S_{BFC} = S_{BED} + S_{CDEF} \quad \Rightarrow \quad 49S = 30S + S_{CDEF} \quad \Rightarrow \quad S_{CDEF} = 19S.

Таким образом,

\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}} = \frac{30S}{19S} = \frac{30}{19}.

Ответ:

\dfrac{30}{19}

Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи