Решите неравенство 12^x - 8^x - 2 · 6^x+1 +… — Неравенства — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Неравенства

ФИПИ

Решите неравенство

12^x - 8^x - 2 \cdot 6^{x+1} + 3 \cdot 4^{x+1} + 32 \cdot 3^x - 2^{x+5} \leqslant0.

Решение

Распишем все слагаемые через степени

2

3

12^x = (3 \cdot 4)^x = 3^x \cdot 4^x = 3^x \cdot 2^{2x};

8^x = 2^{3x};

2 \cdot 6^{x+1} = 2 \cdot 6^x \cdot 6 = 12 \cdot 6^x = 12 \cdot 2^x \cdot 3^x;

3 \cdot 4^{x+1} = 3 \cdot 4^x \cdot 4 = 12 \cdot 4^x = 12 \cdot 2^{2x};

2^{x+5} = 2^x \cdot 2^5 = 32 \cdot 2^x.

Неравенство принимает следующий вид:

3^x \cdot 2^{2x} - 2^{3x} - 12 \cdot 2^x \cdot 3^x + 12 \cdot 2^{2x} + 32 \cdot 3^x - 32 \cdot 2^x \leqslant 0;

2^{2x} \cdot (3^x - 2^x) - 12 \cdot 2^x \cdot (3^x - 2^x) + 32 \cdot (3^x - 2^x) \leqslant 0;

(2^{2x} - 12 \cdot 2^x + 32)(3^x - 2^x) \leqslant 0;

(2^x - 4)\cdot (2^x - 8)\cdot (3^x - 2^x) \leqslant 0;\;|:2^x > 0

(2^x - 2^2)\cdot (2^x - 2^3)\cdot \left(\left( \dfrac{3}{2} \right)^x - \left( \dfrac{3}{2} \right)^0\right) \leqslant 0.

Воспользуемся методом рационализации. Так как

\dfrac{3}{2} > 1

2 > 1

, то получаем:

x(x - 2)(x - 3)\leqslant 0.

Воспользуемся методом интервалов для решения полученного неравенства:

$Изображение 1$

x \in (-\infty; 0] \cup [2; 3]

Ответ:

(-\infty;0] \cup [2;3]