Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 03.10.2023

а) Решите уравнение

\sin 2x=\sin\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]

Решение

а) Упростим тригонометрические выражения с помощью формулы приведения и формулы синуса двойного угла:

\sin \left( x - \frac{3\pi}{2} \right) = \cos x;\\\sin 2x = 2 \sin x \cos x.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

2 \sin x \cos x = \cos x;\\2 \sin x \cos x - \cos x = 0;\\\cos x (2 \sin x - 1) = 0.

Получаем

\left[ \begin{gathered} \cos x = 0 \\ 2\sin x - 1 = 0 \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \cos x = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \\ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \\ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. \end{gathered}\right.

1) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[ \dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

\ing{0}

На отрезок попали корни

x = \dfrac{5\pi}{2}

x = \dfrac{7\pi}{2}

x = \dfrac{17\pi}{6}

.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{2} + \pi k

\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k

\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.

б)

\dfrac{5\pi}{2}

;

\dfrac{7\pi}{2}

;

\dfrac{17\pi}{6}

Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи