а) Решите уравнение cos x · cos 2x = √(2)… — Уравнения — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

\cos x \cdot \cos 2x = \sqrt{2} \sin^2 x + \cos x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right]

Решение

а) Преобразуем уравнение:

\cos x \cdot \cos 2x - \cos x - \sqrt{2} \sin^2 x = 0;

\cos x (\cos 2x - 1) - \sqrt{2} \sin^2 x = 0.

Так как

\cos 2x - 1 = -2\sin^2 x

, то получаем:

\cos x \cdot (-2\sin^2 x) - \sqrt{2} \sin^2 x = 0;

-2\sin^2 x \cos x - \sqrt{2} \sin^2 x = 0;

-\sin^2 x (2\cos x + \sqrt{2}) = 0.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} \sin^2 x = 0,\\ 2 \cos x + \sqrt{2} = 0. \end{array} \right. \;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0,\\ \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{array} \right.\;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \pi k,\\[2mm] x = \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{5\pi}{2}; -\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$