Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ФИПИ
Скопировать ссылку
aa25605a
Решите неравенство
log
2
(
2
−
x
)
−
log
2
(
x
+
1
)
log
2
2
x
2
+
log
2
x
4
+
1
⩾
0.
\frac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1} \geqslant 0.
lo
g
2
2
x
2
+
lo
g
2
x
4
+
1
lo
g
2
(
2
−
x
)
−
lo
g
2
(
x
+
1
)
⩾
0.
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Запишем ограничения:
{
2
−
x
>
0
,
x
+
1
>
0
,
x
2
>
0.
⇔
x
∈
(
−
1
;
0
)
∪
(
0
;
2
)
.
\begin{cases}
2 - x > 0, \\[4pt]
x + 1 > 0, \\[4pt]
x^2 > 0.
\end{cases}
\Leftrightarrow\;
x\in (-1; 0)\cup (0; 2).
⎩
⎨
⎧
2
−
x
>
0
,
x
+
1
>
0
,
x
2
>
0.
⇔
x
∈
(
−
1
;
0
)
∪
(
0
;
2
)
.
Преобразуем знаменатель:
log
2
2
x
2
+
log
2
x
4
+
1
=
log
2
2
x
2
+
2
log
2
x
2
+
1
=
(
log
2
x
2
+
1
)
2
⩾
0.
\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1 = \log_2^2 x^2 + 2\log_2 x^2 + 1 = (\log_2 x^2 + 1)^2 \geqslant 0.
lo
g
2
2
x
2
+
lo
g
2
x
4
+
1
=
lo
g
2
2
x
2
+
2
lo
g
2
x
2
+
1
=
(
lo
g
2
x
2
+
1
)
2
⩾
0.
Найдём нули знаменателя:
(
log
2
x
2
+
1
)
2
=
0
;
(\log_2 x^2 + 1)^2 = 0;
(
lo
g
2
x
2
+
1
)
2
=
0
;
log
2
x
2
=
log
2
1
2
;
\log_2 x^2 = \log_{2}\dfrac{1}{2};
lo
g
2
x
2
=
lo
g
2
2
1
;
x
2
=
1
2
;
x^2 = \dfrac{1}{2};
x
2
=
2
1
;
x
=
±
1
2
.
x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
x
=
±
2
1
.
Тогда наше неравенство равносильно следующей системе:
{
log
2
(
2
−
x
)
⩾
log
2
(
x
+
1
)
,
x
≠
0
,
x
≠
±
1
2
.
\begin{cases}
\log_2(2 - x) \geqslant \log_2(x + 1), \\
x \neq 0,\\
x \neq \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
lo
g
2
(
2
−
x
)
⩾
lo
g
2
(
x
+
1
)
,
x
=
0
,
x
=
±
2
1
.
Воспользуемся методом рационализации для решения неравенства. Получаем равносильную систему:
{
2
−
x
⩾
x
+
1
,
x
∈
(
−
1
;
−
1
2
)
∪
(
−
1
2
;
0
)
∪
(
0
;
1
2
)
∪
(
1
2
;
2
)
.
\begin{cases}
2 - x\geqslant x + 1, \\[3mm]
x\in \left(-1; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 2\right).
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
2
−
x
⩾
x
+
1
,
x
∈
(
−
1
;
−
2
1
)
∪
(
−
2
1
;
0
)
∪
(
0
;
2
1
)
∪
(
2
1
;
2
)
.
{
x
⩽
1
2
,
x
∈
(
−
1
;
−
1
2
)
∪
(
−
1
2
;
0
)
∪
(
0
;
1
2
)
∪
(
1
2
;
2
)
.
\begin{cases}
x \leqslant \dfrac{1}{2}, \\[3mm]
x\in \left(-1; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 2\right).
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
x
⩽
2
1
,
x
∈
(
−
1
;
−
2
1
)
∪
(
−
2
1
;
0
)
∪
(
0
;
2
1
)
∪
(
2
1
;
2
)
.
Получаем окончательный ответ:
(
−
1
;
−
1
2
)
∪
(
−
1
2
;
0
)
∪
(
0
;
1
2
]
\left(-1; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right]
(
−
1
;
−
2
1
)
∪
(
−
2
1
;
0
)
∪
(
0
;
2
1
]
.
Ответ:
(
−
1
;
−
1
2
)
∪
(
−
1
2
;
0
)
∪
(
0
;
1
2
]
\left(-1; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{2}\right]
(
−
1
;
−
2
1
)
∪
(
−
2
1
;
0
)
∪
(
0
;
2
1
]
.
