Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{y=(a+2)x2+2ax+a−2,y2=x2 имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Система равносильна совокупности двух систем:
{y=x,(a+2)x2+2ax+a−2=y;(1){y=−x,(a+2)x2+2ax+a−2=y.(2) Исходная система имеет 4 различных решения, когда (1) и (2) имеют два различных решения и они различны между собой. Общим решением систем может быть только точка (0;0), так как тогда верно, что x=−x и y=−y.
(1) имеет два различных решения, если уравнение
(a+2)x2+2ax+a−2−x=0 имеет два решения. При a=−2 уравнение не является квадратным, поэтому не может давать 2 решения. Получаем:
(a+2)x2+(2a−1)x+a−2=0;D=(2a−1)2−4(a+2)(a−2)>0⇒D=−4a+17>0;a<417. Следовательно, (1) имеет два различных решения при
a∈(−∞;417)\{−2}. (2) имеет два различных решения, если квадратное уравнение (при a=−2) (a+2)x2+2ax+a−2+x=0 имеет два решения. Получаем:
(a+2)x2+(2a+1)x+a−2=0;D=(2a+1)2−4(a+2)(a−2)>0⇒D=4a+17>0;a>−417. Следовательно, (2) имеет два различных решения при
a∈(−417;+∞)\{−2}. Выясним, когда системы (1) и (2) имеют корень (0;0): (a+2)⋅02+2a⋅0+a−2+0=0;a=2. Таким образом, исходная система имеет 4 различных решения при
a∈(−417;−2)∪(−2;2)∪(2;417). Ответ: (−417;−2)∪(−2;2)∪(2;417).
