Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}y=(a+2) x^2+2 a x+a-2, \\ y^2=x^2\end{cases}

имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Система равносильна совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} y = x, \\[1mm] (a+2)x^2 + 2ax + a - 2 = y; \end{cases} \quad\quad\quad (1) \\ &\begin{cases} y = -x, \\ (a+2)x^2 + 2ax + a - 2 = y. \end{cases} \quad\quad\quad (2) \end{aligned} \right.

Исходная система имеет

4

различных решения, когда

(1)

(2)

имеют два различных решения и они различны между собой. Общим решением систем может быть только точка

(0; 0)

, так как тогда верно, что

x = -x

y = -y

(1)

имеет два различных решения, если уравнение

(a+2)x^2 + 2ax + a - 2 - x = 0

имеет два решения. При

a = -2

уравнение не является квадратным, поэтому не может давать

2

решения. Получаем:

(a + 2)x^2 + (2a - 1)x + a - 2 = 0;\\ D = (2a - 1)^2 - 4(a + 2)(a - 2) > 0 \quad\Rightarrow\quad D = -4a + 17 > 0;\\ a < \dfrac{17}{4}.

Следовательно,

(1)

имеет два различных решения при

a \in \left(-\infty; \dfrac{17}{4}\right)\backslash\{-2\}.

(2)

имеет два различных решения, если квадратное уравнение (при

a \neq -2

)

(a+2)x^2 + 2ax + a - 2 + x = 0

имеет два решения. Получаем:

(a + 2)x^2 + (2a + 1)x + a - 2 = 0;\\ D = (2a + 1)^2 - 4(a + 2)(a - 2) > 0 \quad\Rightarrow\quad D = 4a + 17 > 0;\\ a > -\dfrac{17}{4}.

Следовательно,

(2)

имеет два различных решения при

a \in \left(-\dfrac{17}{4}; +\infty\right)\backslash\{-2\}.

Выясним, когда системы

(1)

(2)

имеют корень

(0; 0)

(a+2)\cdot 0^2 + 2a\cdot 0 + a - 2 + 0 = 0;\\ a = 2.

Таким образом, исходная система имеет

4

различных решения при

a \in \left(-\dfrac{17}{4}; -2 \right) \cup \left(-2;2\right)\cup \left(2; \dfrac{17}{4}\right).

Ответ:

\left(-\dfrac{17}{4}; -2 \right) \cup \left(-2;2\right)\cup \left(2; \dfrac{17}{4}\right)

Похожие задачи