Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 19.12.2024

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

x^2+a^2-7x-17a=|17x-7a|

имеет больше двух различных корней.

Решение

Рассмотрим три случая.

Cлучай 1:

a = \dfrac{17}{7}x

. Уравнение принимает вид:

x^2 + \left( \dfrac{17}{7}x \right)^2 -7x -17 \cdot \dfrac{17}{7}x =0;

\dfrac{49x^2 + 289x^2 }{49} - \dfrac{49x + 289x}{7} = 0;

\dfrac{338x^2}{49} - \dfrac{338x}{7} = 0; \ | \cdot \dfrac{49}{338}

x^2 - 7x =0;

x(x-7) =0;

\left[ \begin{gathered} x =0, \\ x=7. \end{gathered}\right.

При

x=0

получаем

a=0

, при

x=7

получаем

a=17

.

Случай 2:

a < \dfrac{17}{7}x

. Уравнение принимает вид:

x^2 + a^2 -7x-17a = 17x-7a;

x^2-24x + a^2-10a = 0;

(x-12)^2 + (a-5)^2=13^2.

При условии

a < \dfrac{17}{7}x

это уравнение задаёт часть окружности с центром

(12;5)

и радиусом 13, лежащаую ниже прямой

a < \dfrac{17}{7}x

.

Случай 3:

a > \dfrac{17}{7}x

. Уравнение принимает вид:

x^2 + a^2 -7x-17a = 7a-17x;

x^2+10x + a^2-24a = 0;

(x+5)^2 + (a-12)^2=13^2.

При условии

a > \dfrac{17}{7}x

это уравнение задаёт часть окружности с центром

(-5;12)

и радиусом 13, лежащаую ниже прямой

a > \dfrac{17}{7}x

. \\

Изобразим в осях

Oxa

Точки

(12; -8)

(12;18)

являются низшей и высшей точками окружности (1) соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые

a= -8

a=18

касаются окружности (1)

Точки

(-5;-1)

(-5; 25)

являются низшей и высшей точками окружности (2) соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые

a=-1

a= 25

касаются окружности (2)

Анализируя график, получаем, что уравнение имеет более двух решений при

a \in [-1;0] \cup [17;18].

Ответ:

a \in [-1;0] \cup [17;18]

Похожие задачи