Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2+a2−7x−17a=∣17x−7a∣ имеет больше двух различных корней.
Решение
Рассмотрим три случая.
Cлучай 1: a=717x. Уравнение принимает вид:
x2+(717x)2−7x−17⋅717x=0; 4949x2+289x2−749x+289x=0; 49338x2−7338x=0;∣⋅33849 x2−7x=0; x(x−7)=0; [x=0,x=7. При x=0 получаем a=0, при x=7 получаем a=17.
Случай 2: a<717x. Уравнение принимает вид:
x2+a2−7x−17a=17x−7a; x2−24x+a2−10a=0;
(x-12)^2 + (a-5)^2=13^2.
При условии a<717x это уравнение задаёт часть окружности с центром (12;5) и радиусом 13, лежащаую ниже прямой a<717x.
Случай 3: a>717x. Уравнение принимает вид:
x2+a2−7x−17a=7a−17x; x2+10x+a2−24a=0;
(x+5)^2 + (a-12)^2=13^2.
При условии a>717x это уравнение задаёт часть окружности с центром (−5;12) и радиусом 13, лежащаую ниже прямой a>717x. \\
Изобразим в осях Oxa:
Точки (12;−8) и (12;18) являются низшей и высшей точками окружности (1) соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые a=−8 и a=18 касаются окружности (1)
Точки (−5;−1) и (−5;25) являются низшей и высшей точками окружности (2) соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые a=−1 и a=25 касаются окружности (2)
Анализируя график, получаем, что уравнение имеет более двух решений при
a∈[−1;0]∪[17;18]. Ответ: a∈[−1;0]∪[17;18].
