Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Задание 24
Скопировать ссылку
a6c07150
Биссектрисы углов
B
B
B
и
C
C
C
четырёхугольника
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
пересекаются в точке
O
O
O
,
лежащей на стороне
A
D
AD
A
D
.
Докажите, что точка
O
O
O
равноудалена от прямых
A
B
AB
A
B
,
B
C
BC
BC
и
C
D
CD
C
D
.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Идея. Точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла. Нужно только аккуратно связать две пары расстояний.
1) Опустим из точки
O
O
O
перпендикуляры к указанным прямым; длины этих перпендикуляров и есть расстояния до прямых.
2) По свойству биссектрисы получаем
ρ
(
O
,
A
B
)
=
ρ
(
O
,
B
C
)
\rho(O,AB)=\rho(O,BC)
ρ
(
O
,
A
B
)
=
ρ
(
O
,
BC
)
.
3) По второй биссектрисе получаем
ρ
(
O
,
B
C
)
=
ρ
(
O
,
C
D
)
\rho(O,BC)=\rho(O,CD)
ρ
(
O
,
BC
)
=
ρ
(
O
,
C
D
)
.
4) Следовательно, расстояния от точки
O
O
O
до прямых
A
B
AB
A
B
,
B
C
BC
BC
и
C
D
CD
C
D
равны. Значит, точка
O
O
O
равноудалена от этих прямых.
