Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияСтатГрад 03.10.2023

В прямоугольном параллелепипеде

ABCDA_1B_1C_1D_1

через середину

M

диагонали

AC_1

проведена плоскость

\alpha

перпендикулярно этой диагонали,

AB=13

BC=5

AA_1=12

.

а) Докажите, что плоскость

\alpha

содержит точку

D_1

.

б) Найдите отношение, в котором плоскость

\alpha

делит ребро

A_1B_1

Решение

a)
Плоскость

\alpha

перпендикулярна диагонали

AC_1

, значит, любая прямая, лежащая в плоскости

\alpha

перпендикулярна

AC_1

. Поэтому для того, чтобы доказать, что плоскость

\alpha

, проходящая через точку

M

, содержит точку

D_1

, достаточно доказать, что

D_1M

перпендикулярна

AC_1

Найдём длину

AD_1

по теореме Пифагора:

AD_1 = \sqrt{AD^2+DD_1^2} = \sqrt{25+144} = 13.

Заметим, что в

\triangle AD_1C_1

стороны

AD_1

D_1C_1

равны, значит,

\triangle AD_1C_1

- равнобедренный.

M

- середина

AC_1

, поэтому

D_1M

- медиана в равнобедренном

\triangle AD_1C_1

, а значит,

D_1M

ещё и высота. Получили, что

D_1M

перпендикулярна

AC_1

. Что и требовалось доказать.

б)
Рассмотрим грань

AA_1C_1C

Точка

K

принадлежит сечению, так как лежит на перпендикуляре к

AC_1

, проведённом из точки

M

.

Найдём длину диагонали

AC_1

AC_1 = \sqrt{5^2 + 13^2 + 12^2} = \sqrt{2 \cdot 169} = 13\sqrt{2}.

Тогда

AM = MC_1 = \frac{13\sqrt{2}}{2}

.

Найдём косинус угла

\gamma

как отношение катета к гипотенузе в

\triangle AA_1C_1

\cos \gamma = \frac{AA_1}{AC_1} = \frac{12}{13\sqrt{2}}.

Теперь рассмотрим косинус угла

\gamma

как отношение катета к гипотенузе в

\triangle AKM

cos \gamma = \frac{AM}{AK} = \frac{\frac{13\sqrt{2}}{2}}{AK}=\frac{12}{13\sqrt{2}},

12AK = 169,

AK = \frac{169}{12}=12+\frac{25}{12}.

Значит,

A_1K = \frac{25}{12}

.

Рассмотрим грань

AA_1B_1B

Диагонали параллелепипеда делятся пополам точкой пересечения, а

M

- середина диагонали

AC_1

, значит, диагонали

AC_1

D_1B

пересекаются в точке

M

. Выходит, что

D_1B

принадлежит сечению. В частности, точка

B

принадлежит сечению. Значит,

KB

принадлежит сечению. Тогда искомое отношение равно

\dfrac{A_1R}{RB_1}.

Из параллельности сторон следует

\triangle KRA_1 \sim \triangle RB_1B

, тогда:

\dfrac{A_1R}{RB_1} = \frac{KA_1}{BB_1} = \frac{\frac{25}{12}}{12} = \frac{25}{144}.

Ответ: б)

\dfrac{25}{144}

Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи