В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали,
AB=13,BC=5,AA1=12.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1.
Решение
a)
Плоскость α перпендикулярна диагонали AC1, значит, любая прямая, лежащая в плоскости α перпендикулярна AC1. Поэтому для того, чтобы доказать, что плоскость α, проходящая через точку M, содержит точку D1, достаточно доказать, что D1M перпендикулярна AC1.
Найдём длину AD1 по теореме Пифагора:
AD1=AD2+DD12=25+144=13. Заметим, что в △AD1C1 стороны AD1 и D1C1 равны, значит, △AD1C1 - равнобедренный. M - середина AC1, поэтому D1M - медиана в равнобедренном △AD1C1, а значит, D1M ещё и высота. Получили, что D1M перпендикулярна AC1. Что и требовалось доказать.
б)
Рассмотрим грань AA1C1C:
Точка K принадлежит сечению, так как лежит на перпендикуляре к AC1, проведённом из точки M.
Найдём длину диагонали AC1: AC1=52+132+122=2⋅169=132. Тогда AM=MC1=2132.
Найдём косинус угла γ как отношение катета к гипотенузе в △AA1C1: cosγ=AC1AA1=13212. Теперь рассмотрим косинус угла γ как отношение катета к гипотенузе в △AKM: cosγ=AKAM=AK2132=13212, 12AK=169, AK=12169=12+1225. Значит, A1K=1225.
Рассмотрим грань AA1B1B:
Диагонали параллелепипеда делятся пополам точкой пересечения, а M - середина диагонали AC1, значит, диагонали AC1 и D1B пересекаются в точке M. Выходит, что D1B принадлежит сечению. В частности, точка B принадлежит сечению. Значит, KB принадлежит сечению. Тогда искомое отношение равно RB1A1R.
Из параллельности сторон следует △KRA1∼△RB1B, тогда:
RB1A1R=BB1KA1=121225=14425.
