Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

НеравенстваФИПИЕГЭ 2025 (досрок)

Решите неравенство

7\log_{12}{(x^2-13x+42)}\leqslant 8+\log_{12}{\dfrac{(x-7)^7}{x-6}}.

Решение

Запишем ограничения на неравенство:

\begin{cases} x^2 - 13x + 42 > 0,\\[2mm] \dfrac{(x - 7)^7}{x - 6} > 0. \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} (x - 7)(x - 6) > 0,\\[2mm] \dfrac{x - 7}{x - 6} > 0. \end{cases}

\img{0)

x \in (-\infty; 6)\cup (7; +\infty).

По свойствам логарифма получаем:

\log_{12}{\left((x - 6)^7(x - 7)^7\right)}\leqslant \log_{12}{\left(12^8\cdot \dfrac{(x - 7)^7}{x - 6}\right)};

Из монотонного возрастания функции

f(t) = \log_{12}{t}

получаем:

(x - 6)^7(x - 7)^7 \leqslant 12^8\cdot \dfrac{(x - 7)^7}{x - 6};

(x - 7)^7\left((x - 6)^7 - \dfrac{12^8}{x - 6}\right) \leqslant 0;

(x - 7)^7\left(\dfrac{(x - 6)^8 - 12^8}{x - 6}\right) \leqslant 0;

\left.\dfrac{(x - 7)^7((x - 6)^4 - 12^4)((x - 6)^4 + 12^4)}{x - 6} \leqslant 0; \quad \right|\;: (x - 6)^4 + 12^4 > 0

\left.\dfrac{(x - 7)^7((x - 6)^2 - 12^2)((x - 6)^2 + 12^2)}{x - 6} \leqslant 0; \quad \right|\;: (x - 6)^2 + 12^2 > 0

\dfrac{(x - 7)^7(x - 18)(x + 6)}{x - 6} \leqslant 0.

Из метода интервалов, с учётом ограничений, получаем:

x \in [-6; 6)\cup (7; 18].

Ответ:

[-6; 6)\cup (7; 18]

Похожие задачи