Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
Всего в турнире участвует 20 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Ответ:
Решение
В первом туре участвуют все 20 игроков, поэтому разбить их на произвольные пары можно 220⋅19=190 способами. Эти 20 участников образуют 10 пар игроков первого тура (при этом любая пара в этом турнире будет равновозможной).
Если выбранные игроки не встретились в первом туре, они могут встретиться во втором. В нём примут участие уже 20−10=10 участников, образующих 5 пар игроков.
В третьем туре примут участие 10−5=5 человек, из них можно составить только 2 пары (один без пары автоматически проходит в следующий тур). Значит, в четвёртой игре участвуют 5−2=3 человека, пара только одна, один игрок снова переходит в следующий тур. Тогда последняя игра состоится между парой оставшихся игроков.
Получаем, что искомая вероятность будет равна отношению количества пар игроков каждого тура к количеству произвольных пар, составленных из 20 человек:
19010+5+2+1+1=19019=101=0,1. Ответ: 0,1.
