Найдите все значения a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y, удовлетворяющих неравенству
5∣x−2∣+3∣x+a∣≤4−y2+7.
Решение
Рассмотрим правую часть неравенства.
Заметим, что
y2≥0;−y2≤0;4−y2≤4;0≤4−y2≤2;7≤4−y2+7≤9.
Получаем, что правая часть неравенства принимает значения
из отрезка [7;9]. Рассмотрим левую часть f(x)=5∣x−2∣+3∣x+a∣. В первом слагаемом коэффициент больше, чем во втором, поэтому раскроем первый модуль по определению.
Если x≥2, то ∣x−2∣=x−2 и f(x)=5x−10+3∣x+a∣. С каким бы знаком мы ни раскрыли второй модуль, мы получим возрастающую линейную функцию, то есть при x≥2 функция f(x) возрастает.
Если x<2, то ∣x−2∣=−x+2 и f(x)=−5x+10+3∣x+a∣. С каким бы знаком мы ни раскрыли второй модуль, мы получим убывающую линейную функцию, то есть при x≤2 функция f(x) убывает.
Значит, при x=2 функция принимает наименьшее значение fmin=f(2)=5∣2−2∣+3∣2+a∣=3∣a+2∣. Для того, чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы наименьшее значение левой части было не больше наибольшего значения правой, то есть f(2)≤9. Получим:
3∣a+2∣≤9;∣:3∣a+2∣≤3;−3≤a+2≤3;−5≤a≤1. Ответ: a∈[−5;1].
