В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=22,AD=6,AA1=10. На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки E и F соответственно, причём A1E:EA=3:2 и B1F:FB=3:7. Точка T -- середина ребра B1C1. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Решение
а)
1) Параллельно перенесем △B1FT в плоскость AA1D1D по отрезку B1A1. 2) В результате чего образуется новый треугольник, в котором гипотенуза параллельна и равна FT. С другой стороны, она является средней линией △A1ED1. 3) Следовательно, FT∥ED1, тогда D1∈(EFT), ч. т. д.
б)
1) Получили, что сечение плоскостью (EFT) -- это четырёхугольник EFTD1. Это трапеция, так как FT∥ED1, а EF∦TD1 2) По условию B1F=103BB1=3,A1E=53AA1=6. В трапеции A1B1FE опустим высоту FK, тогда в △FKE по теореме Пифагора: FE=FK2+KE2=A1B12+B1F2=(22)2+32=17. 3) В △C1D1T по теореме Пифагора: TD1=TC12+C1D12=(2AD)2+AB2=32+(22)2=17. 4) Получаем, что EFTD1 -- равнобедренная трапеция и ED1=2FT (известно из а).
Значит, ED1=2FT=2B1F2+B1T2=232+32=62. 5) Тогда hEFTD1=EF2−(2ED1−FT)2=(17)2−(262−32)2=25. 6) Получаем, что Sсеч=2FT+ED1⋅hEFTD1=232+62⋅25=22,5. Ответ: б) 22,5
