Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияФИПИ

В прямоугольном параллелепипеде

A B C D A_1 B_1 C_1 D_1

известны длины рёбер:

A B=2 \sqrt{2}

A D=6

A A_1=10

. На рёбрах

A A_1

B B_1

отмечены точки

E

F

соответственно, причём

A_1 E: E A=3: 2

B_1 F: F B=3: 7

. Точка

T

-- середина ребра

B_1 C_1

.
а) Докажите, что плоскость

E F T

проходит через точку

D_1

.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью

E F T

Решение

а)
1) Параллельно перенесем

\triangle B_1FT

в плоскость

AA_1D_1D

по отрезку

B_1A_1

.
2) В результате чего образуется новый треугольник, в котором гипотенуза параллельна и равна

FT

. С другой стороны, она является средней линией

\triangle A_1ED_1

.
3) Следовательно,

FT \parallel ED_1

, тогда

D_1 \in (EFT)

, ч. т. д.

б)
1) Получили, что сечение плоскостью

(EFT)

-- это четырёхугольник

EFTD_1

. Это трапеция, так как

FT \parallel ED_1

, а

EF \nparallel TD_1

2) По условию

B_1F=\dfrac{3}{10}BB_1=3

A_1E=\dfrac{3}{5}AA_1=6

. В трапеции

A_1B_1FE

опустим высоту

FK

, тогда в

\triangle FKE

по теореме Пифагора:

FE=\sqrt{FK^2+KE^2}=\sqrt{A_1B_1^2+B_1F^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+3^2}=\sqrt{17}.

3) В

\triangle C_1D_1T

по теореме Пифагора:

TD_1=\sqrt{TC_1^2+C_1D_1^2}=\sqrt{\left(\dfrac{AD}{2}\right)^2+AB^2}=\sqrt{3^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{17}.

4) Получаем, что

EFTD_1

-- равнобедренная трапеция и

ED_1=2FT

(известно из а).
Значит,

ED_1=2FT=2\sqrt{B_1F^2+B_1T^2}=2\sqrt{3^2+3^2}=6\sqrt{2}

.
5) Тогда

h_{EFTD_1}=\sqrt{EF^2-\left(\dfrac{ED_1-FT}{2}\right)^2}=\sqrt{(\sqrt{17})^2-\left(\dfrac{6\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}.

6) Получаем, что

S_{сеч}=\dfrac{FT+ED_1}{2}\cdot h_{EFTD_1}=\dfrac{3\sqrt{2}+6\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{5}{\sqrt{2}}=22,5

.
Ответ: б)

22,5

Похожие задачи