В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A,B и C, а на окружности другого основания – точка C1, причём CC1 – образующая цилиндра, а AC – диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30∘,AB=2,CC1=2.
а) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 45∘. б) Найдите объём цилиндра.
Решение
а) Проведём прямую через A параллельно прямой BC, которая пересекает нижнюю окружность основания цилиндра в точке B′, отличной от точки A. △ABC=△AB′C по гипотенузе и острому углу: AC - общая, ∠B′AC=∠ACB=30∘, следовательно, BC=AB′ и AB=B′C. При этом AB′CB - прямоугольник, значит AB′⊥B′C.
По условию CC1 - образующая, то есть CC1 перпендикулярно основанию цилиндра, B′C1 - наклонная, а B′C - проекция B′C1 на плоскость нижнего основания, тогда по теореме о трёх перпендикулярах AB′⊥B′C1. Так как ∠ACB=30∘, то AC=2AB=22, тогда по теореме Пифагора для △ABC: BC=AC2−AB2=8−2=6=AB′ По теореме Пифагора для △B′CC1: B′C1=B′C2+CC12=2+4=6 В итоге получаем, что △AB′C1 - прямоугольный и равнобедренный (AB′=B′C1=6), то есть ∠B′AC1=∠AC1B′=45∘, что и требовалось доказать.
б) Vцилиндра=πr2h, где r=2AC=2,h=CC1=2, тогда
Vцилиндра=π⋅(2)2⋅2=4π Ответ: б) 4π.
