В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB отмечена её середина — точка K, на стороне BC отмечена её середина — точка M. На отрезке KM отмечена точка E так, что KE:EM=1:2. Прямая AE пересекает сторону BC в точке N. а) Докажите, что прямая, проходящая через точку K параллельно прямой AN, пересекает отрезок BN в его середине.
б) Найдите длину отрезка AN, если AC=13.
Решение
а) Пусть KT∥AN,T∈BC. Тогда KT -- средняя линия △BAN, так как K -- середина AB,KT∥AN, то есть T -- середина BN, ч.т.д.
б) По теореме Менелая для △BKM и секущей AN: NMBN⋅EKME⋅ABKA=1,NMBN⋅12⋅21=1,NMBN=1,BN=NM. То есть N -- середина стороны BM, значит,
BN=41BC=413.
В △MAN по теореме косинусов:
AN2=AB2+BN2−2AB⋅BN⋅cos∠NBA; AN2=13+1613−2⋅13⋅413⋅21; AN2=16221−413=16169; AN=413. Ответ: 413.
