Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(ctgx+3)2+2a3+3a2=(a2+2a+3)(ctgx+3) имеет ровно два различных решения на интервале (−2π;π).
Решение
Пусть t=ctgx+3. Уравнение примет вид:
t2−(a2+2a+3)t+2a3+3a2=0. По теореме, обратной теореме Виета:
{t1+t2=a2+2a+3,t1⋅t2=a2(2a+3);{t1=a2,t2=2a+3. После обратной замены получаем:
[ctgx+3=a2,ctgx+3=2a+3;[ctgx=a2−3,(1)ctgx=2a.(2) Проанализируем, сколько решений на промежутке (−2π;π) имеет уравнение ctgx=b в зависимости от значения b.
1) Если b<0, то уравнение ctgx=b имеет 2 решения.
2) Если b=0, то уравнение ctgx=b имеет 1 решение, x=2π. 3) Если b>0, то уравнение ctgx=b имеет 1 решение.
Таким образом, исходное уравнение будет иметь два решения в следующих случаях:
1. Правые части уравнений (1) и (2) совпадают, причём они отрицательные:
{2a<0,a2−3=2a;⎩⎨⎧a<0,[a=−1,a=3;a=−1. 2. Правые части уравнений (1) и (2) не совпадают, причём они неотрицательные:
⎩⎨⎧2a≥0,a2−3≥0,a2−3=2a;⎩⎨⎧a≥0,(a+3)(a−3)≥0,a=−1,a=3,a∈[3;3)∪(3;+∞).
Объединяя оба случая, получаем, что a∈{−1}∪[3;3)∪(3;+∞).
