Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Точка M -- середина ребра CC1. Через точки A1,M и B проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренный треугольник.
б) Найдите высоту призмы, если известно, что площадь сечения равна 6 и AB=2.
Решение
а) Соединим точки A1,M и B. Треугольник A1MB является искомым сечением. Прямоугольные треугольники MC1A1 и BCM равны по двум катетам (C1M=MC,BC=A1C1), значит, A1M=MB. Тогда треугольник A1MB -- равнобедренный.
б) Пусть высота призмы равна 2h. Из треугольника AA1B по теореме Пифагора получаем:
A1B=AA12+AB2=(2h)2+22=4h2+4=2h2+1. Из прямоугольного треугольника A1C1M по теореме Пифагора получаем:
A1M=C1M2+A1C12=h2+22=h2+4. Проведём MT -- высоту, медиану и биссектрису треугольника A1MB. Тогда \\A1T=TB=h2+1. Из A1MT по теореме Пифагора получаем:
MT=A1M2−A1T2=h2+4−(h2+1)=3.
Площадь треугольника A1MB равна 6, значит,
21MT⋅A1B=6;3⋅h2+1=6;3(h2+1)=36;h2=11;h=11⇒2h=211. Ответ: 211.
