Найдите все значения a, при каждом из… — Параметры — ЕГЭ

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{array}{l}\left(x^2-5 x-y+3\right) \cdot \sqrt{x-y+3}=0, \\ y=3 x+a\end{array}\right.

имеет ровно два различных решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

(x^2 - 5x - y + 3) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x^2 - 5x - y + 3 = 0, \\ \sqrt{x - y + 3} = 0 \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x^2 - 5x - y + 3 = 0,\\ x - y + 3 = 0, \end{array} \right.\\ x - y + 3 \geqslant 0.\\ \end{cases}

Имеем:

1) Уравнение

y = x^2 - 5x + 3

задаёт параболу с осями, направленными вверх. Найдём вершину этой параболы:

x_{\text{в}} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5;\quad y_{\text{в}} = \left(\dfrac{5}{2}\right) ^2 - 5\cdot \dfrac{5}{2} + 3 = -\dfrac{13}{4}.

2) Уравнение

y = x + 3

задаёт прямую, проходящую через точку

(0; 3)

, с угловым коэффициентом

1

. Неравенство

y \leqslant x + 3

задаёт полуплоскость ниже прямой

y = x + 3

, включая границу.
3) Уравнение

y = 3x + a

задаёт множество параллельных прямых с угловым коэффициентом

3

.

Если выполнено уравнение

y = x + 3

, то условие

y \leqslant x + 3

выполняется автоматически. Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} y = x^2 - 5x + 3,\\ y = 3x + a,\\ y \leqslant x + 3; \end{cases} \quad(1) \\ &\begin{cases} y = x + 3,\\ y = 3x + a. \end{cases} \quad\quad\quad\;(2) \end{aligned} \right.

Рассмотрим систему

(2)

. Прямые

y = x + 3

y = 3x + a

ни при каких

a

не являются параллельными, поэтому они пересекаются, то есть система

(2)

всегда имеет одно решение.

Рассмотрим систему

(1)

. Найдём точки пересечения параболы и прямой

y = x + 3

x^2 - 5x + 3 = x + 3\quad\Rightarrow\quad x^2 - 6x = 0\quad\Rightarrow\quad x(x - 6) = 0; \\ x_1 = 0 \quad\text{ и }\quad x_2 = 6.

При

x_1 = 0

получаем

y_1 = 3

, при

x_2 = 6

получаем

y_2 = 9

. Следовательно, пересечение происходит в точках

(0; 3)

(6; 9)

.

I) Найдем значение параметра

a

, при котором прямая

y = 3x + a

проходит через точку

(0; 3)

3 = 3\cdot 0 + a\quad\Rightarrow\quad a = 3.

II) Найдем значение параметра

a

, при котором прямая

y = 3x + a

проходит через точку

(6; 9)

9 = 3\cdot 6 + a\quad\Rightarrow\quad a = -9.

III) Найдем значение параметра

a

, при котором прямая

y = 3x + a

касается параболы, то есть имеет одну точку пересечения:

x^2 - 5x + 3 = 3x + a; \\ x^2 - 8x + 3 - a = 0; \\ D = (-8)^2 - 4(3 - a) = 0\quad\Rightarrow\quad 64 - 12 + 4a = 0\quad\Rightarrow\quad 4a + 52 = 0\quad \Rightarrow\quad a = -13.

Итого, получаем:

1) при

a \in (-\infty; -13)\cup (3; +\infty)

система имеет

1

решение;
2) при

a \in \{-13\} \cup [-9; 3)

система имеет

2

решения;
3) при

a\in (-13;-9)

система имеет

3

решения.

Ответ:

\{-13\} \cup [-9; 3)

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{array}{l}\left(x^2-5 x-y+3\right) \cdot \sqrt{x-y+3}=0, \\ y=3 x+a\end{array}\right.

имеет ровно два различных решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

(x^2 - 5x - y + 3) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x^2 - 5x - y + 3 = 0, \\ \sqrt{x - y + 3} = 0 \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x^2 - 5x - y + 3 = 0,\\ x - y + 3 = 0, \end{array} \right.\\ x - y + 3 \geqslant 0.\\ \end{cases}

Имеем:

1) Уравнение

y = x^2 - 5x + 3

задаёт параболу с осями, направленными вверх. Найдём вершину этой параболы:

x_{\text{в}} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5;\quad y_{\text{в}} = \left(\dfrac{5}{2}\right) ^2 - 5\cdot \dfrac{5}{2} + 3 = -\dfrac{13}{4}.

2) Уравнение

y = x + 3

задаёт прямую, проходящую через точку

(0; 3)

, с угловым коэффициентом

1

. Неравенство

y \leqslant x + 3

задаёт полуплоскость ниже прямой

y = x + 3

, включая границу.
3) Уравнение

y = 3x + a

задаёт множество параллельных прямых с угловым коэффициентом

3

.

Если выполнено уравнение

y = x + 3

, то условие

y \leqslant x + 3

выполняется автоматически. Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} y = x^2 - 5x + 3,\\ y = 3x + a,\\ y \leqslant x + 3; \end{cases} \quad(1) \\ &\begin{cases} y = x + 3,\\ y = 3x + a. \end{cases} \quad\quad\quad\;(2) \end{aligned} \right.

Рассмотрим систему

(2)

. Прямые

y = x + 3

y = 3x + a

ни при каких

a

не являются параллельными, поэтому они пересекаются, то есть система

(2)

всегда имеет одно решение.

Рассмотрим систему

(1)

. Найдём точки пересечения параболы и прямой

y = x + 3

x^2 - 5x + 3 = x + 3\quad\Rightarrow\quad x^2 - 6x = 0\quad\Rightarrow\quad x(x - 6) = 0; \\ x_1 = 0 \quad\text{ и }\quad x_2 = 6.

При

x_1 = 0

получаем

y_1 = 3

, при

x_2 = 6

получаем

y_2 = 9

. Следовательно, пересечение происходит в точках

(0; 3)

(6; 9)

.

I) Найдем значение параметра

a

, при котором прямая

y = 3x + a

проходит через точку

(0; 3)

3 = 3\cdot 0 + a\quad\Rightarrow\quad a = 3.

II) Найдем значение параметра

a

, при котором прямая

y = 3x + a

проходит через точку

(6; 9)

9 = 3\cdot 6 + a\quad\Rightarrow\quad a = -9.

III) Найдем значение параметра

a

, при котором прямая

y = 3x + a

касается параболы, то есть имеет одну точку пересечения:

x^2 - 5x + 3 = 3x + a; \\ x^2 - 8x + 3 - a = 0; \\ D = (-8)^2 - 4(3 - a) = 0\quad\Rightarrow\quad 64 - 12 + 4a = 0\quad\Rightarrow\quad 4a + 52 = 0\quad \Rightarrow\quad a = -13.

Итого, получаем:

1) при

a \in (-\infty; -13)\cup (3; +\infty)

система имеет

1

решение;
2) при

a \in \{-13\} \cup [-9; 3)

система имеет

2

решения;
3) при

a\in (-13;-9)

система имеет

3

решения.

Ответ:

\{-13\} \cup [-9; 3)