Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГЭ 2025 (пересдача)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\ln (6 a-x) \cdot \ln (2 a+2 x-2)=\ln (6 a-x) \cdot \ln (x-a)

имеет ровно один корень на отрезке

[0 ; 1]

Решение

Преобразуем уравнение:

\ln (6a-x) \cdot \ln (2a+2 x-2)-\ln (6a-x) \cdot \ln (x-a)=0;

\ln (6a-x) (\ln (2a+2 x-2)-\ln (x-a))=0.

Полученное уравнение равносильно следующей совокупности:

\left[\begin{gathered} \begin{cases} \ln (6a-x) = 0, \\ 2a + 2x - 2 > 0, \\ x - a > 0, \end{cases} \ \qquad \qquad(1) \\ \begin{cases} \ln (2 a+2 x-2)-\ln (x-a) = 0, \\ 6a - x > 0. \end{cases} \ \quad (2)\end{gathered} \right. \quad

Рассмотрим уравнение системы (1):

\ln (6a-x) = 0, \quad 6a-x = 1, \quad x = 6a - 1.

Подставим в неравенства системы, а также учтём, что

x\in [0;1]

\begin{cases} 2a + 2(6a-1) - 2 > 0, \\ 6a - 1 - a > 0, \\ 0 \leqslant 6a -1 \leqslant 1;\end{cases} \quad \begin{cases} 7a - 2 > 0, \\ 5a - 1 > 0, \\ 1 \leqslant 6a \leqslant 2;\end{cases} \quad\begin{cases} a > \dfrac{2}{7}, \\[1.5ex] a > \dfrac{1}{5}, \\[1ex] \dfrac{1}{6} \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{3}.\end{cases}

$Изображение 1$

$Изображение 2$

$Изображение 3$

Получаем, что

a\in \left(\dfrac{2}{7}; \dfrac{1}{3}\right]

.
Рассмотрим уравнение системы (2):

\ln (2 a+2 x-2)-\ln (x-a) = 0, \quad \begin{cases} 2a + 2x - 2 = x - a, \\ x - a > 0;\end{cases} \quad \begin{cases} x = - 3a + 2, \\ x - a > 0.\end{cases}

Подставим в неравенства системы, а также учтём, что

x\in [0;1]

\begin{cases} 0 \leqslant -3a +2 \leqslant 1, \\ -3a +2 - a > 0, \\ 6a - (-3a + 2) > 0;\end{cases} \quad \begin{cases} -2 \leqslant -3a \leqslant -1, \\ -4a + 2 > 0, \\ 9a - 2 > 0;\end{cases} \quad\begin{cases} \dfrac{1}{3} \leqslant a \leqslant \dfrac{2}{3}, \\[1.5ex] a < \dfrac{1}{2}, \\[1.5ex] a > \dfrac{2}{9}.\end{cases}

$Изображение 4$

$Изображение 5$

$Изображение 6$

Получаем, что

a\in \left[\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{2}\right)

.
Рассмотрим совпадение корней. Корни совпадают при:

6a - 1 = -3a + 2, \quad 9a = 3, \quad a = \dfrac{1}{3}.

Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно одно решение:

$Изображение 7$

Получаем, что ровно одно решение будет при

a\in \left(\dfrac{2}{7};\dfrac{1}{2}\right)

.
Ответ:

a\in \left(\dfrac{2}{7};\dfrac{1}{2}\right)

Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи