Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнениеln(6a−x)⋅ln(2a+2x−2)=ln(6a−x)⋅ln(x−a)имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
Решение
Преобразуем уравнение:ln(6a−x)⋅ln(2a+2x−2)−ln(6a−x)⋅ln(x−a)=0;ln(6a−x)(ln(2a+2x−2)−ln(x−a))=0.Полученное уравнение равносильно следующей совокупности:⎩⎨⎧ln(6a−x)=0,2a+2x−2>0,x−a>0,(1){ln(2a+2x−2)−ln(x−a)=0,6a−x>0.(2)Рассмотрим уравнение системы (1):ln(6a−x)=0,6a−x=1,x=6a−1.Подставим в неравенства системы, а также учтём, что x∈[0;1]:⎩⎨⎧2a+2(6a−1)−2>0,6a−1−a>0,0⩽6a−1⩽1;⎩⎨⎧7a−2>0,5a−1>0,1⩽6a⩽2;⎩⎨⎧a>72,a>51,61⩽a⩽31.
Получаем, что a∈(72;31]. Рассмотрим уравнение системы (2):ln(2a+2x−2)−ln(x−a)=0,{2a+2x−2=x−a,x−a>0;{x=−3a+2,x−a>0.Подставим в неравенства системы, а также учтём, что x∈[0;1]:⎩⎨⎧0⩽−3a+2⩽1,−3a+2−a>0,6a−(−3a+2)>0;⎩⎨⎧−2⩽−3a⩽−1,−4a+2>0,9a−2>0;⎩⎨⎧31⩽a⩽32,a<21,a>92.
Получаем, что a∈[31;21). Рассмотрим совпадение корней. Корни совпадают при:6a−1=−3a+2,9a=3,a=31.Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно одно решение:
Получаем, что ровно одно решение будет при a∈(72;21). Ответ: a∈(72;21).
