Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
{5⋅2∣x∣+6∣x∣+7=5y+6x2+4a,x2+y2=1 имеет единственное решение.
Решение
Заметим, что x входит в систему либо в виде ∣x∣, либо в виде x2, то есть только чётным образом. Значит, если некоторая пара чисел (x0;y0) является решением системы, то пара (−x0;y0) -- также решение.
Для того, чтобы решение было единственным, они должны совпадать, то есть x0=−x0,x0=0. Подставим x=0: {5⋅20+6⋅0+7=5y+6⋅02+4a,02+y2=1;{5y+4a=12,y=±1; ⎩⎨⎧y=1,a=47,⎩⎨⎧y=−1,a=417. При a=47 и при a=417 система имеет решение (0;y), но проверим будет ли оно единственным.
I. a=47: {5⋅2∣x∣+6∣x∣+7=5y+6x2+7,x2+y2=1;{5⋅2∣x∣=6x2−6∣x∣+5y,(1)x2+y2=1.(2) Так как x2+y2=1, то x2∈[0;1], \ y2∈[0;1], тогда ∣x∣∈[0;1] и ∣y∣∈[0;1]. \\
Рассмотрим (1) 5⋅2∣x∣=6∣x∣⋅(∣x∣−1)+5y. ∣x∣∈[0;1], значит (∣x∣−1)∈[−1;0], тогда 6∣x∣⋅(∣x∣−1)∈[−6;0], а с учётом ∣y∣∈[0;1],5y∈[−5;5], получим 6∣x∣⋅(∣x∣−1)+5y∈[−11;5].
Правая часть уравнения (1): 5⋅2∣x∣∈[5;10]при∣x∣∈[0;1]. Следовательно, уравнение (1) имеет решения только тогда, когда
{5⋅2∣x∣=5,6∣x∣⋅(∣x∣−1)+5y=5;{x=0,6⋅0⋅(−1)+5y=5;{x=0,y=1. Следовательно, при a=47 система имеет единственное решение.
II. a=417: {5⋅2∣x∣+6∣x∣+7=5y+6x2+17;x2+y2=1;{5⋅2∣x∣=6x2−6∣x∣+5y+10,x2+y2=1. Решением этой системы является, например,
пара чисел (0;−1): {5⋅20=0−0−5+10,02+(−1)2=1;{5=5,1=1;верно. Кроме того, пара (1;0) также решение:
{5⋅2∣1∣=6⋅1−6⋅1+5⋅0+10,12+02=1;{10=10,1=1;верно. Следовательно, при a=417 система имеет более одного решения.
