Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2026 (досрок)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} 5 \cdot 2^{|x|} + 6|x| + 7 = 5y + 6x^2 + 4a, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}

имеет единственное решение.

Решение

Заметим, что

x

входит в систему либо в виде

|x|

, либо в виде

x^2

, то есть только чётным образом. Значит, если некоторая пара чисел

(x_0; y_0)

является решением системы, то пара

(-x_0; y_0)

— также решение.
Для того, чтобы решение было единственным, они должны совпадать, то есть

x_0 = -x_0

x_0 = 0

.
Подставим

x = 0

\quad \begin{cases}5 \cdot 2^0 + 6 \cdot 0 + 7 = 5y + 6 \cdot 0^2 + 4a, \\0^2 + y^2 = 1;\end{cases}\\\begin{cases}5y + 4a = 12, \\y = \pm 1;\end{cases}

\left[ \begin{aligned}& \begin{cases} y = 1, \\ a = \dfrac{7}{4}, \end{cases} \\& \begin{cases} y = -1, \\ a = \dfrac{17}{4}. \end{cases}\end{aligned} \right.

При

a = \dfrac{7}{4}

и при

a = \dfrac{17}{4}

система имеет решение

(0; y)

, но проверим будет ли оно единственным.
I.

a = \dfrac{7}{4}

\begin{cases}5 \cdot 2^{|x|} + 6|x| + 7 = 5y + 6x^2 + 7, \\x^2 + y^2 = 1;\end{cases} \\\quad \begin{cases}5 \cdot 2^{|x|} = 6x^2 - 6|x| + 5y, \quad (1) \\x^2 + y^2 = 1. \quad (2)\end{cases}

Так как

x^2 + y^2 = 1

, то

x^2 \in [0; 1],

y^2 \in [0; 1],

тогда

|x| \in [0; 1]

|y| \in [0; 1].

Рассмотрим (1) 5

\cdot 2^{|x|} = 6|x|\cdot(|x|-1) + 5y .

|x| \in [0; 1],

значит

(|x|-1) \in [-1; 0],

тогда

6|x| \cdot (|x|-1) \in [-6; 0],

а с учётом

|y| \in [0; 1]

5y \in [-5; 5],

получим

6|x|\cdot (|x|-1) + 5y \in [-11; 5].

Правая часть уравнения (1):

5 \cdot 2^{|x|} \in [5; 10] \text{ при } |x| \in [0; 1].

Следовательно, уравнение (1) имеет решения только тогда, когда

\quad \begin{cases} 5 \cdot 2^{|x|} = 5, \\ 6|x|\cdot(|x|-1) + 5y = 5; \end{cases} \quad \begin{cases} x = 0, \\ 6 \cdot 0 \cdot (-1) + 5y = 5; \end{cases} \quad \begin{cases} x = 0, \\ y = 1. \end{cases}

Следовательно, при

a = \dfrac{7}{4}

система имеет единственное решение.
II.

a = \dfrac{17}{4}

\begin{cases}5 \cdot 2^{|x|} + 6|x| + 7 = 5y + 6x^2 + 17; \\x^2 + y^2 = 1;\end{cases} \\\quad\begin{cases}5 \cdot 2^{|x|} = 6x^2 - 6|x| + 5y + 10, \\x^2 + y^2 = 1.\end{cases}

Решением этой системы является, например,
пара чисел

(0; -1)

\begin{cases} 5 \cdot 2^0 = 0 - 0 - 5 + 10, \\ 0^2 + (-1)^2 = 1; \end{cases} \quad \begin{cases} 5 = 5, \\ 1 = 1; \end{cases} \text{ верно.}

Кроме того, пара

(1; 0)

также решение:

\begin{cases}5 \cdot 2^{|1|} = 6 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 10, \\1^2 + 0^2 = 1;\end{cases} \quad \begin{cases} 10 = 10, \\ 1 = 1; \end{cases} \text{ верно.}

Следовательно, при

a = \dfrac{17}{4}

система имеет более одного решения.

Ответ:

a=\dfrac{7}{4}

Похожие задачи