Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2022 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

a^2-9x^2+18|x|-9=0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Заметим, что

x^2 = |x|^2

. Тогда получим:

a^2 - 9(|x|-1)^2 = 0; \\(a - 3(|x|-1))(a + 3(|x|-1)) = 0.

a = 3|x| - 3; \quad 2) a = -3|x| + 3

:
Случай 1:

a = 3|x| - 3 \Rightarrow 3|x| = a + 3 \Rightarrow |x| = \dfrac{a+3}{3}

\left[\begin{aligned}&\begin{cases}x \geqslant 0, \\x = \dfrac{a+3}{3};\end{cases}\\&\begin{cases}x < 0, \\x = -\dfrac{a+3}{3}.\end{cases}\end{aligned}\right.

Найдём, при каких

a

x=\dfrac{a+3}{3}

удовлетворяет условию

x\geqslant0

\dfrac{a+3}{3}\geqslant0;\\[0.5em]a\geqslant-3.

Найдём, при каких

a

x=-\dfrac{a+3}{3}

удовлетворяет условию

x<0

-\dfrac{a+3}{3}<0;\\[0.5em]a+3>0;\\[0.5em]a>-3.

Случай 2:

a = -3|x| + 3 \Rightarrow 3|x| = 3 - a \Rightarrow |x| = \dfrac{3-a}{3}

\left[\begin{aligned}&\begin{cases}x \geqslant 0, \\x = \dfrac{3-a}{3};\end{cases}\\&\begin{cases}x < 0, \\x = \dfrac{a-3}{3}.\end{cases}\end{aligned}\right.

Найдём, при каких

a

x=\dfrac{3-a}{3}

удовлетворяет условию

x\geqslant0

\dfrac{3-a}{3}\geqslant0;\\[0.5em]3-a\geqslant0;\\[0.5em]a\leqslant3.

Найдём, при каких

a

x=\dfrac{a-3}{3}

удовлетворяет условию

x<0

\dfrac{a-3}{3}<0;\\[0.5em]a<3.

Пусть

x_1 = \dfrac{a+3}{3}, x_2 = -\dfrac{a+3}{3}, x_3 = \dfrac{3-a}{3}, x_4 = \dfrac{a-3}{3}

.
Заметим, что совпадать могут только

x_1

x_3

x_2

x_4

.

Рассмотрим совпадения:

1)\ x_1 = x_3; \\[0.5em]\dfrac{a+3}{3} = \dfrac{3-a}{3};\\[0.5em] a = 0.\\[0.5em]2)\ x_2 = x_4; \\[0.5em]-\dfrac{a+3}{3} = \dfrac{a-3}{3};\\[0.5em]-a-3 = a-3;\\[0.5em]a = 0.

Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком

-

число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно два решения:

a \in (-\infty; -3) \cup \{0\} \cup (3; +\infty)

Ответ:

a \in (-\infty; -3) \cup \{0\} \cup (3; +\infty)

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи