Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
a2−9x2+18∣x∣−9=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Заметим, что x2=∣x∣2. Тогда получим:
a2−9(∣x∣−1)2=0;(a−3(∣x∣−1))(a+3(∣x∣−1))=0. 1) a=3∣x∣−3; \quad 2) a=−3∣x∣+3: Случай 1: a=3∣x∣−3⇒3∣x∣=a+3⇒∣x∣=3a+3. ⎩⎨⎧x⩾0,x=3a+3;⎩⎨⎧x<0,x=−3a+3. Найдём, при каких ax=3a+3 удовлетворяет условию x⩾0: 3a+3⩾0;a⩾−3. Найдём, при каких ax=−3a+3 удовлетворяет условию x<0: −3a+3<0;a+3>0;a>−3. Случай 2: a=−3∣x∣+3⇒3∣x∣=3−a⇒∣x∣=33−a. ⎩⎨⎧x⩾0,x=33−a;⎩⎨⎧x<0,x=3a−3. Найдём, при каких ax=33−a удовлетворяет условию x⩾0: 33−a⩾0;3−a⩾0;a⩽3. Найдём, при каких ax=3a−3 удовлетворяет условию x<0: 3a−3<0;a<3. Пусть x1=3a+3,x2=−3a+3,x3=33−a,x4=3a−3. Заметим, что совпадать могут только x1 и x3,x2 и x4.
Рассмотрим совпадения:
1)x1=x3;3a+3=33−a;a=0.2)x2=x4;−3a+3=3a−3;−a−3=a−3;a=0. Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком − число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно два решения:
a∈(−∞;−3)∪{0}∪(3;+∞)
