Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 18. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Ответ:
Решение
Пусть M — середина основания AC. Тогда AM=CM=9. Обозначим BM=h. По симметрии центры обеих окружностей лежат на прямой BM, поэтому OM=12,OB=h+12.
В треугольнике AOB площадь можно найти двумя способами: через основание AB и расстояние от O до прямой AB, равное 12, и через основание OB, высота к которому равна AM=9: 21AB⋅12=21(h+12)⋅9. Так как AB=81+h2, получаем уравнение 1281+h2=9(h+12). Отсюда h=7216,AB=7225. Площадь треугольника равна S=71944, а полупериметр равен p=AB+AM=7288. Поэтому r=pS=728871944=427.
