Параметр с тригонометрией — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при которых уравнение

(2 x+a+1-\tg{x})^2=(2x+a-1+\tg{x})^2

имеет единственное решение на отрезке

[0 ; \pi]

Решение

Воспользуемся формулой разности квадратов:

(2x + a + 1 - \tg x)^2 - (2x + a - 1 + \tg x)^2 = 0;\\ (2x + a + 1 - \tg x - 2x - a + 1 - \tg x)(2x + a - 1 + \tg x + 2x + a - 1 + \tg x) = 0;\\ (\tg{x} - 1)(2x + a) = 0;\\ \left[ \begin{array}{l} \tg{x} = 1,\\[1.5mm] x = -\dfrac{a}{2}, \end{array} \right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z},\\[1.5mm] x = -\dfrac{a}{2}. \end{array} \right.

Выясним, сколько решений уравнение имеет на отрезке

[0; \pi]

с учётом ограничения

x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}

.

1) На отрезке

[0; \pi]

уравнение

\tg x = 1

имеет единственный корень

x = \dfrac{\pi}{4}

(так как

\dfrac{5\pi}{4} > \pi

). Этот корень всегда принадлежит отрезку и удовлетворяет ограничениям.

2) Чтобы

x = -\dfrac{a}{2}

было решением на отрезке

[0; \pi]

, должны выполняться следующие условия:

\begin{cases} 0 \leqslant -\dfrac{a}{2} \leqslant \pi,\\[1.5mm] -\dfrac{a}{2} \neq \dfrac{\pi}{2}, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} -2\pi \leqslant a \leqslant 0,\\ a \neq -\pi. \end{cases}

Следовательно,

x = -\dfrac{a}{2}

является решением нашего уравнения на отрезке

[0; \pi]

при

a \in [-2\pi; -\pi)\cup(-\pi; 0]

.

Корни совпадают при

-\dfrac{a}{2} = \dfrac{\pi}{4}\quad\Rightarrow\quad a = -\dfrac{\pi}{2}.

Таким образом, единственное решение на отрезке

[0; \pi]

достигается при:

a \in (-\infty; -2\pi) \cup \left\{ -\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right\} \cup (0; +\infty).

Ответ:

(-\infty; -2\pi) \cup \left\{ -\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right\} \cup (0; +\infty)

Похожие задачи