Найдите все значения a, при которых уравнение
(2x+a+1−tgx)2=(2x+a−1+tgx)2 имеет единственное решение на отрезке [0;π].
Решение
Воспользуемся формулой разности квадратов:
(2x+a+1−tgx)2−(2x+a−1+tgx)2=0;(2x+a+1−tgx−2x−a+1−tgx)(2x+a−1+tgx+2x+a−1+tgx)=0;(tgx−1)(2x+a)=0;tgx=1,x=−2a,⇒x=4π+πn,n∈Z,x=−2a. Выясним, сколько решений уравнение имеет на отрезке [0;π] с учётом ограничения x=2π+πk,k∈Z.
1) На отрезке [0;π] уравнение tgx=1 имеет единственный корень x=4π (так как 45π>π). Этот корень всегда принадлежит отрезку и удовлетворяет ограничениям.
2) Чтобы x=−2a было решением на отрезке [0;π], должны выполняться следующие условия:
⎩⎨⎧0⩽−2a⩽π,−2a=2π,⇒{−2π⩽a⩽0,a=−π. Следовательно, x=−2a является решением нашего уравнения на отрезке [0;π] при a∈[−2π;−π)∪(−π;0].
Корни совпадают при
−2a=4π⇒a=−2π. Таким образом, единственное решение на отрезке [0;π] достигается при:
a∈(−∞;−2π)∪{−π;−2π}∪(0;+∞). Ответ: (−∞;−2π)∪{−π;−2π}∪(0;+∞).
