Найдите все значения a, при каждом из… — Параметры — ЕГЭ

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2+4 x\right) \cdot \sqrt{2 x+y+6}=0, \\ y=x+a\end{array}\right.

имеет ровно два различных решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

(x^2 + y^2 + 4x) \cdot \sqrt{2x + y + 6} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + 4x = 0, \\ \sqrt{2x + y + 6} = 0 \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + 4x = 0,\\ 2x + y + 6 = 0, \end{array} \right.\\ 2x + y + 6 \geqslant 0.\\ \end{cases}

Имеем:

1)

x^2 + y^2 + 4x = 0\quad\Rightarrow\quad x^2 + 4x + y^2 = 0\quad\Rightarrow\quad (x + 2)^2 + y^2 = 4.\quad (*)

Это уравнение задаёт окружность с центром в точке

O(-2; 0)

и радиусом

2

.
2) Уравнение

y = -2x - 6

задаёт прямую, проходящую через точку

(-2; -2)

, с угловым коэффициентом

-2

. Неравенство

y \geqslant -2x - 6

задаёт полуплоскость выше прямой

y= -2x - 6

, включая границу.
3) Уравнение

y = x + a

задаёт множество параллельных прямых с угловым коэффициентом

1

.

Если выполнено уравнение

y = -2x - 6

, то условие

y \geqslant -2x - 6

выполняется автоматически. Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 4,\\ y = x + a,\\ y \geqslant -2x - 6; \end{cases} \;(1) \\ &\begin{cases} y = -2x - 6,\\ y = x + a. \end{cases} \quad\quad\;(2) \end{aligned} \right.

Рассмотрим систему

(2)

. Прямые

y = -2x - 6

y = x + a

ни при каких

a

не являются параллельными, поэтому они пересекаются, то есть система

(2)

всегда имеет одно решение.

Найдём точки пересечения прямой

y = -2x - 6

и окружности

(*)

(x - 2)^2 + (2x + 6)^2 = 4\quad\Rightarrow\quad 5x^2 + 28x + 36=0; \\ D = 28^2 - 4\cdot 5\cdot 36 = 64 = 8^2; \\ x_{1} = \dfrac{-28 - 8}{10} = -\frac{18}{5},\quad x_{2} = \dfrac{-28 + 8}{10} = -2.

При

x_1 = -\dfrac{18}{5}

получаем

y_1 = -2\cdot\left(-\dfrac{18}{5}\right) - 6 = \dfrac{6}{5}.

При

x_2 = -2

получаем:

y_2 = -2\cdot\left(-2\right) - 6 = -2.

Следовательно, пересечение происходит в точках

(-2; -2)

\left(-\dfrac{18}{5}; \dfrac{6}{5}\right)

.

(I) и (II) Найдем значения параметра

a

, при которых прямая

y = x + a

касается окружности

(*)

. Запишем уравнение прямой в общем виде:

\ell : -x + y - a = 0.

Прямая касается окружности в том и только том случае, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

По формуле расстояния от точки до прямой получаем:

d(O, \ell) = \frac{|-1 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{|a - 2|}{\sqrt{2}}.

Условие касания:

\frac{|a - 2|}{\sqrt{2}} = 2 \quad \Rightarrow \quad |a - 2| = 2\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad a = 2 \pm 2\sqrt{2}.

Таким образом, прямая касается окружности при

a = 2 - \sqrt{2} \quad \text{и} \quad a = 2 + 2\sqrt{2}.

III) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = x + a

проходит через точку

(-2; -2)

-2 = -2 + a\quad\Rightarrow\quad a = 0.

IV) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = x + a

проходит через точку

\left(-\dfrac{18}{5}; \dfrac{6}{5}\right)

\dfrac{6}{5} = -\dfrac{18}{5} + a\quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{24}{5}.

Сравним числа

\dfrac{24}{5}

2 + 2\sqrt{2}

\dfrac{24}{5} \vee 2 + 2\sqrt{2}; \\ 24 \vee 10 + 10\sqrt{2}; \\ 14 \vee 10\sqrt{2}; \\ 196 < 200.

Следовательно,

\dfrac{24}{5} < 2 + 2\sqrt{2}

.

Итого, получаем:

1) при

a \in (-\infty; 2 - 2\sqrt{2})\cup (2 + 2\sqrt{2}; +\infty)

система имеет

1

решение;
2) при

a \in \left[0; \dfrac{24}{5}\right] \cup \{2\pm2\sqrt{2}\}

система имеет

2

решения;
3) при

a \in (2 - 2\sqrt{2}; 0)\cup \left(\dfrac{24}{5}; 2 + 2\sqrt{2}\right)

система имеет

3

решения.

Ответ:

a \in \left[0; \dfrac{24}{5}\right] \cup \{2\pm2\sqrt{2}\}

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2+4 x\right) \cdot \sqrt{2 x+y+6}=0, \\ y=x+a\end{array}\right.

имеет ровно два различных решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

(x^2 + y^2 + 4x) \cdot \sqrt{2x + y + 6} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + 4x = 0, \\ \sqrt{2x + y + 6} = 0 \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + 4x = 0,\\ 2x + y + 6 = 0, \end{array} \right.\\ 2x + y + 6 \geqslant 0.\\ \end{cases}

Имеем:

1)

x^2 + y^2 + 4x = 0\quad\Rightarrow\quad x^2 + 4x + y^2 = 0\quad\Rightarrow\quad (x + 2)^2 + y^2 = 4.\quad (*)

Это уравнение задаёт окружность с центром в точке

O(-2; 0)

и радиусом

2

.
2) Уравнение

y = -2x - 6

задаёт прямую, проходящую через точку

(-2; -2)

, с угловым коэффициентом

-2

. Неравенство

y \geqslant -2x - 6

задаёт полуплоскость выше прямой

y= -2x - 6

, включая границу.
3) Уравнение

y = x + a

задаёт множество параллельных прямых с угловым коэффициентом

1

.

Если выполнено уравнение

y = -2x - 6

, то условие

y \geqslant -2x - 6

выполняется автоматически. Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 4,\\ y = x + a,\\ y \geqslant -2x - 6; \end{cases} \;(1) \\ &\begin{cases} y = -2x - 6,\\ y = x + a. \end{cases} \quad\quad\;(2) \end{aligned} \right.

Рассмотрим систему

(2)

. Прямые

y = -2x - 6

y = x + a

ни при каких

a

не являются параллельными, поэтому они пересекаются, то есть система

(2)

всегда имеет одно решение.

Найдём точки пересечения прямой

y = -2x - 6

и окружности

(*)

(x - 2)^2 + (2x + 6)^2 = 4\quad\Rightarrow\quad 5x^2 + 28x + 36=0; \\ D = 28^2 - 4\cdot 5\cdot 36 = 64 = 8^2; \\ x_{1} = \dfrac{-28 - 8}{10} = -\frac{18}{5},\quad x_{2} = \dfrac{-28 + 8}{10} = -2.

При

x_1 = -\dfrac{18}{5}

получаем

y_1 = -2\cdot\left(-\dfrac{18}{5}\right) - 6 = \dfrac{6}{5}.

При

x_2 = -2

получаем:

y_2 = -2\cdot\left(-2\right) - 6 = -2.

Следовательно, пересечение происходит в точках

(-2; -2)

\left(-\dfrac{18}{5}; \dfrac{6}{5}\right)

.

(I) и (II) Найдем значения параметра

a

, при которых прямая

y = x + a

касается окружности

(*)

. Запишем уравнение прямой в общем виде:

\ell : -x + y - a = 0.

d(O, \ell) = \frac{|-1 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{|a - 2|}{\sqrt{2}}.

Условие касания:

\frac{|a - 2|}{\sqrt{2}} = 2 \quad \Rightarrow \quad |a - 2| = 2\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad a = 2 \pm 2\sqrt{2}.

Таким образом, прямая касается окружности при

a = 2 - \sqrt{2} \quad \text{и} \quad a = 2 + 2\sqrt{2}.

III) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = x + a

проходит через точку

(-2; -2)

-2 = -2 + a\quad\Rightarrow\quad a = 0.

IV) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = x + a

проходит через точку

\left(-\dfrac{18}{5}; \dfrac{6}{5}\right)

\dfrac{6}{5} = -\dfrac{18}{5} + a\quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{24}{5}.

Сравним числа

\dfrac{24}{5}

2 + 2\sqrt{2}

\dfrac{24}{5} \vee 2 + 2\sqrt{2}; \\ 24 \vee 10 + 10\sqrt{2}; \\ 14 \vee 10\sqrt{2}; \\ 196 < 200.

Следовательно,

\dfrac{24}{5} < 2 + 2\sqrt{2}

.

Итого, получаем:

1) при

a \in (-\infty; 2 - 2\sqrt{2})\cup (2 + 2\sqrt{2}; +\infty)

система имеет

1

решение;
2) при

a \in \left[0; \dfrac{24}{5}\right] \cup \{2\pm2\sqrt{2}\}

система имеет

2

решения;
3) при

a \in (2 - 2\sqrt{2}; 0)\cup \left(\dfrac{24}{5}; 2 + 2\sqrt{2}\right)

система имеет

3

решения.

Ответ:

a \in \left[0; \dfrac{24}{5}\right] \cup \{2\pm2\sqrt{2}\}